Chủ đề này có 4 trả lời

[lehaison_math]

Cho a,b,c>0 cmr
(x/(4x+4y+z))+(y/(4y+4z+x))+(z/(4z+4x+y)) =<1/3

[khacduongpro_165]

Cho a,b,c>0 cmr
(x/(4x+4y+z))+(y/(4y+4z+x))+(z/(4z+4x+y)) =<1/3

Post 1 lần thôi em ah! mà đừng để tiêu đề thế! Đau mắt lắm!

[RainThunde]

Cho x, y, z > 0, C/m $\dfrac{x}{4x+4y+z}+\dfrac{y}{4y+4z+x}+\dfrac{z}{4z+4x+y}\leq\dfrac{1}{3}$

Ta có;
$\dfrac{x}{4x+4y+z}=x\dfrac{1}{(x+2y)+(x+2y)+(2x+z)}$
$\leq \dfrac{1}{9}x (\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{2x+z})$
<=> $\dfrac{x}{4x+4y+z}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2x}{x+2y}+\dfrac{x}{2x+z})$

Tương tự
$\dfrac{y}{4y+4z+x}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2y}{y+2z}+\dfrac{y}{2y+x})$
$\dfrac{z}{4z+4x+y}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2z}{z+2x}+\dfrac{z}{2z+y})$

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra <=> x=y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 01-03-2011 - 17:53

[tuan101293]

Cho x, y, z > 0, C/m $\dfrac{x}{4x+4y+z}+\dfrac{y}{4y+4z+x}+\dfrac{z}{4z+4x+y}\leq\dfrac{1}{3}$

Ta có;
$\dfrac{x}{4x+4y+z}=x\dfrac{1}{(x+2y)+(x+2y)+(2x+z)}$
$\leq \dfrac{1}{9}x (\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{2x+z})$
<=> $\dfrac{x}{4x+4y+z}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2x}{x+2y}+\dfrac{x}{2x+z})$

Tương tự
$\dfrac{y}{4y+4z+x}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2y}{y+2z}+\dfrac{y}{2y+x})$
$\dfrac{z}{4z+4x+y}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2z}{z+2x}+\dfrac{z}{2z+y})$

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra <=> x=y=z

Cộng dọc thì nó ra $\dfrac{2x+y}{2y+x}$ chứ ????
********
LG: chuẩn hóa x+y+z=3,và giả sử y nằm giữa 2 số x,z ta phải CM
$\dfrac{x}{x+y+1}+\dfrac{y}{y+z+1}+\dfrac{z}{z+x+1}\le 1$
Quy đồng ta phải CM $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le 4$
vì y nằm giữa nên ta có $z(y-z)(y-x)\le 0$ suy ra $y^2z+z^2x\le xyz+yz^2$
suy ra $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le x^2y+2xyz+z^2y=z(x+y)^2=z(3-z)^2\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{2z+3-z+3-z}{3})^3=4$
ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 01-03-2011 - 20:05

[lehaison_math]

Tớ không hiểu lắm về chuẩn hoá có ai có cách khác không