Đến nội dung

Hình ảnh

Bài tập số chính phương( kỳ cuối)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
zzz.chelsea.zzz

zzz.chelsea.zzz

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
Bài 1: CMR: nếu a, b là các số nguyên thỏa mãn : $\ 2a^{2} $ + a = $\ 3b^{2} $ +b thì a-b và 2a+ 2b + 1 là những số chính phương.
Bài 2: Cho A= 2+ 2$\sqrt{12n^{2}+1} $ là số nguyên với n $\in $ N thì A là SCP.
Bài 4: a) CM tích của tám số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 128
b) Với n $\in $ N, CM: M=n(n+1)(n+2)...(n+7)+7! không biểu diễn được duới dạng tổng của 2 SCP
Bài 5: Cho x,y,z $\in $ N, nguyên tố cùng nhau từng đôi một thỏa mãn $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z} $. Hỏi x+y có phải là số chính phương ko?
Bài 6: Tìm số có 2 chữ số ab sao cho trong bốn mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng, 2 mệnh đề sai:
a) ab $\vdots $ 5
b) ab$\vdots $ 23
c) ab + 7 là SCP
d) ab - 10 là SCP
Bài 7: Cho d là một số nguyên dương $\neq $ 2,5,13.CMR trong tâp hợp { 2,3,13,d} có thể tìm dược h số phân biệt a và b sao cho ab-1 không phải SCP
Bài 8: CMR có tể tìm được số có dạng 19971997...199700...0 $\vdots$ 1998
Bài 9: Cho $\ x_{1} , x_{2}$ là hai nghiệm của pt: $\x^{2} -2x -1=0$. CM $\ x_{1}^{2k} +x_{2}^{2k} +2 $ là SCP với mọi số tự nhiên chẵn k
Bài 10: Tìm số nguyên n sao cho $\ 3^{n} +427$ là SCP

p/s: tính từ hôm nay post bài là thứ 2 thì mình rất mong đến sang thứ 5 thì các bạn đã giúp mình > 5 bài !! Okie?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzz.chelsea.zzz: 28-02-2011 - 20:44

Điều ta biết là một giọt nước, điều ta chưa biết là cả một đại dương.
ISAAC NEWTON

#2
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
Bài 9 :
Đề là $x^2 - 2x - 1 = 0$ phải không bạn :
Áp dụng hệ thức Viét , ta có $x_1.x_2 = -1 \Rightarrow x_1^k.x_2^k = 1$ ( do k chắn )
Ta có :
$ x_1^{2k} + x_2^{2k} + 2 = x_1^{2k} +2.x_1^k.x_2^k + x_2^{2k} = ( x_1 + x_2 )^2$
Luôn luôn là số chính phương

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3
3T-29

3T-29

    Bố già

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
Bài 1: http://diendantoanho...?...c=55407&hl=
Let`s Goooooooooo..............

http://don9x.com/forum

#4
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
* Nếu $ \overline{ab} \vdots 5 $ và $ \overline{ab} \vdots 23 $ thì $ \overline{ab} > 100 $ . Trái với giả thiết.
* Nếu $ \overline{ab} \vdots 5 $ và $ \overline{ab} + 7 = 5k + 2 $ không phải là số chính phương .
Vậy chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau đây :
1. $ \left\{\begin{array}{l}\overline{ab} \vdots 5\\\overline{ab} - 10 = m^2 \end{array}\right. \Rightarrow \overline{ab} = 35 $
2. $ \left\{\begin{array}{l}\overline{ab} \vdots 23\\\overline{ab} + 7 = n^2 \end{array}\right. $ Không có số nào thỏa mãn .
3. $ \left\{\begin{array}{l}\overline{ab} \vdots 23\\\overline{ab} - 10 = m^2 \end{array}\right. \Rightarrow \overline{ab} = 46 $
4. $ \left\{\begin{array}{l}\overline{ab} + 7 = n^2 \\\overline{ab} - 10 = m^2 \end{array}\right. \Rightarrow \overline{ab} = 74 $
Vậy có 3 số thỏa mãn yêu cầu đề bài là 35 , 46 và 74

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#5
3T-29

3T-29

    Bố già

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
Bài 5: Mình không nghĩ là x,y,z có thể :) N
Let`s Goooooooooo..............

http://don9x.com/forum

#6
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
Không biết là đúng hay sai nữa !!
Bài 4 : Dễ nhận thấy trong 8 số nguyên liên tiếp thì có 4 số chẵn và 4 số lẻ ! Ta chỉ xét với 4 số chẵn ( bạn có thể xét trường hợp với n = 2k và 2k + 1 ).
Trong 4 số chẵn liên tiếp , có 2 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 , hai số còn lại thì có một số chia hết cho 4 , một số chia hết cho 8 .
Do đó : Tích của 4 số chẵn liên tiếp này chia hết cho $2.2.2^2.2^3 = 128$
Vậy ta có điều phải chứng minh !!!!
b, Ta có M có dạng 4k + 3 . Giả sử $ M = a^2 + b^2$
Do số chính phương luôn có dạng 4n hoặc 4n + 1 nên ta xét các trường hợp .
Với a = 4m , b = 4n + 1
$ \Rightarrow M = 4( m + n ) + 1 \neq 4k + 3$
Với a = 4m , b = 4m
Dễ thấy M chia hết cho 4 , do vậy không có số nào thỏa mãn
Với a = 4m + 1 , b = 4n + 1 .
Dễ thấy khi đó M chia hết cho 2 , ta cũng không có số nào thỏa mãn !!!!
Vậy M không thể viết được dưới dạng tổng 2 số chính phương .

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#7
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
Bài 8 có thể sử dụng Nguyên lý Dirichlet không nhỉ !!!!! ( cố định số chữ số 0 phía sau )
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#8
zzz.chelsea.zzz

zzz.chelsea.zzz

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Bài 8 có thể sử dụng Nguyên lý Dirichlet không nhỉ !!!!! ( cố định số chữ số 0 phía sau )

có thể nếu bạn có cách! :) Mình lần trước có làm 1 bài hơi na ná thì áp dụng đồng dư thức, tách 199719971997...1999700...00 thành
1997.($\1000^{n} +1000^{n-1}+...+1000^{0} $) . 1000000....0000 ( ở đây giả sử có n số 1997 viết liên tiếp)
xong rồi dùng đồng dư nhưng đến đây thì có vẫn đề.
Liệu bạn nào có cách giải theo ĐDT ko??
Điều ta biết là một giọt nước, điều ta chưa biết là cả một đại dương.
ISAAC NEWTON

#9
zzz.chelsea.zzz

zzz.chelsea.zzz

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Bài 1: http://diendantoanho...?...c=55407&hl=

thank bạn! tách ra thành tích thì mình cũng làm ra được rồi. hưng mình chỉ hỏi cái phần x-y và 2x+2y+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau thì bạn làm ntn??
Điều ta biết là một giọt nước, điều ta chưa biết là cả một đại dương.
ISAAC NEWTON

#10
luvHg

luvHg

    Huongluv

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Không biết là đúng hay sai nữa !!
Bài 4 :
b, Ta có M có dạng 4k + 3 . Giả sử $ M = a^2 + b^2$
Do số chính phương luôn có dạng 4n hoặc 4n + 1 nên ta xét các trường hợp .
Với a = 4m , b = 4n + 1
$ \Rightarrow M = 4( m + n ) + 1 \neq 4k + 3$
Với a = 4m , b = 4m
Dễ thấy M chia hết cho 4 , do vậy không có số nào thỏa mãn
Với a = 4m + 1 , b = 4n + 1 .
Dễ thấy khi đó M chia hết cho 2 , ta cũng không có số nào thỏa mãn !!!!
Vậy M không thể viết được dưới dạng tổng 2 số chính phương .

Bạn nhìn nhầm đề rùi, 7! mà!
M chia hết cho 4 đấy!
Thi tỉnh sắp đến, Luvhg trở lại - điên dại gấp đôi :))

#11
NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1468 Bài viết

Bài 5: Cho x,y,z $\in $ N, nguyên tố cùng nhau từng đôi một thỏa mãn $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z} $. Hỏi x+y có phải là số chính phương ko?

--------------------------------------------

bài 2.
ta có:
$xz+yz=xy
=>(x-z)(y-z)=z^2$
đặt
$(x-z)(y-z)=z^2=> z^2 \vdots d^2
=>z \vdots d.$

$x-z ,y-z \vdots d
\Rightarrow x,y\vdots d.
\Rightarrow d=1$
do đó:
$x-z=a^2 ;y-z= b^2;ab=z$.
$x+y=a^2+b^2+2ab$
$x+y= (a+b)^2$. quá, quá chính phương.


It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#12
9xlove9xx

9xlove9xx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

có thể nếu bạn có cách! :) Mình lần trước có làm 1 bài hơi na ná thì áp dụng đồng dư thức, tách 199719971997...1999700...00 thành
1997.($\1000^{n} +1000^{n-1}+...+1000^{0} $) . 1000000....0000 ( ở đây giả sử có n số 1997 viết liên tiếp)
xong rồi dùng đồng dư nhưng đến đây thì có vẫn đề.
Liệu bạn nào có cách giải theo ĐDT ko??



Mình dùn nguyên lí Dirichlet nhé:

Lấy 1997 số có dạng 1997,19971997,..,1997..1997 chia cho 1996. Vì 1997 số trên là số lẻ nên không có số nào chia hết cho 1998. :D :D 2 số dạng trên đống dư với nhau theo mod 8. G/sử là 1997..1997 (i số 1997) và 1997..1997 (j số 1997) với i>j>0. Hiệu 2 số này có dạng 1997..199700..0 và chia hết cho 1998

#13
luvHg

luvHg

    Huongluv

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
Bài 7
Ta cần CM A=2d-1, B=5d-1, C=13d-1 không cùng là scp!
Xét số dư khi chia cho 9. Giả sử d=9k+r (r<9)
Một scp chia 9 dư 0,1, hoặc 4
=>2r-1 chia 9 dư 0,1 hoặc 4
Vì r<9 nên r thuộc 5, 1, 7
Nếu r =5 thì 5d-1 chia 9 dư 3 loại
Nếu r=1 thì 13d-1 chia 9 dư 3 loại
Nếu r=7 thì 5d-1 chia 9 du7 loại
Vậy ta có đpcm!
Thi tỉnh sắp đến, Luvhg trở lại - điên dại gấp đôi :))

#14
luvHg

luvHg

    Huongluv

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
Bài 2
Ta có để A nguyên thì 12$ n^{2}+1=(2k+1)^{2} $(do lẻ)
<=> $3n^{2}= k^{2}+k$
<=>$ n^{2}= \dfrac{k(k+1)}{3} $
Nếu k=3a với a tự nhiên thì =>$ n^{2}=a(3a+1) $
Mà a và 3a+1 ng tố cùng nhau =>3a+1 là scp
Khi đó A=2+2(6a+1)=12a+4=4(3a+1) là scp
Nếu k= 3a-1 thì ta cũng làm tương tự => A là scp !

Bài 10 luôn nè:
$ 3^{n} +427= a^{2} $.Có 427=61.7=427.1
Nếu n chẵn=2k
=> $427=(a-3^{k})(a+3^{k}) $
Vì (427-1)/2 ko là lũy thừa của 3 =>loại
Có (61-7)/2 = 27 nên $ 3^{k} =3^{3}, n=6$ thỏa mãn
Nếu n lẻ thì $ 3^{n}$ chia 4 dư 3=> $ 3^{n} +427 $chia 4 dư 2 nên ko là scp
Vậy ta tìm được n=6!
Thi tỉnh sắp đến, Luvhg trở lại - điên dại gấp đôi :))




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh