Chủ đề này có 7 trả lời

[mileycyrus]

cho các số thực x,y,z tm x^2 + y^2 + z^2 =2
tìm max, min của x^3 + y^3 + z^3-3xyz

[khacduongpro_165]

cho các số thực $x,y,z$ tm $x^2 + y^2 + z^2 =2$
tìm max, min của $P=x^3 + y^3 + z^3-3xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 05-03-2011 - 12:55

[khacduongpro_165]

${P^2} = {(x + y + z)^2}{({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)^2}$

$= ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx) $
$ \le {({x^2} + {y^2} + {z^2})^3}=8 \Rightarrow P\leq 2\sqrt{2} $

Dấu "=" xảy ra khi $x,y,z$ là các hoán vị của $(0,0,\sqrt{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 05-03-2011 - 13:03

[mileycyrus]

em k hiểu chỗ đoạn cuối => p < = (x2+y2+z2)^3

[Elym4ever]

em k hiểu chỗ đoạn cuối => p < = (x2+y2+z2)^3

Chỗ đó dùng Cauchy 3 số.

[khacduongpro_165]

Áp dụng Cô-Si(AM-GM theo cách nhiều người gọi)! Cho 3 số sau:

$a= ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx)$

$b=({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)$

$c=({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx) $

Có: $abc\leq\(\dfrac{a+b+c}{3})^3 = {({x^2} + {y^2} + {z^2})^3}=8 \Rightarrow P\leq 2\sqrt{2} $

Dấu "=" xảy ra khi $x,y,z$ là các hoán vị của $(0,0,\sqrt{2})$

Thế đấy e ah!

[stuart clark]

Let $K=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$=(x+y+z)\left\{(x^2+y^2+z^2)-(\dfrac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2})\right\}$

$=\dfrac{(x+y+z)}{2}\left\{6-(x+y+z)^2\right\}$

and Let $a=(x+y+z)$,Then Expression is

$K=\dfrac{6a-a^3}{2}$(because $x^2+y^2+z^2=2$)

Now $\dfrac{dK}{dt}=\dfrac{6-3a^2}{2}$

for Max. and Min. $\dfrac{dK}{dt}=0\Leftrightarrow a=\pm \sqrt{2}$

Now $\dfrac{d^2K}{dt^2}=-6a$

So $\dfrac{d^2K}{dt^2}<0$ i.e Maximum of $K$ for $a=\sqrt{2}$

and $\dfrac{d^2K}{dt^2}>0$ i.e Minimum of $K$ for $a=-\sqrt{2}$

So Max. $K(\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{6.\sqrt{2}-2.\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

and Min. $K(-\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$

[dark templar]

Let $K=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$=(x+y+z)\left\{(x^2+y^2+z^2)-(\dfrac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2})\right\}$

$=\dfrac{(x+y+z)}{2}\left\{6-(x+y+z)^2\right\}$

and Let $a=(x+y+z)$,Then Expression is

$K=\dfrac{6a-a^3}{2}$(because $x^2+y^2+z^2=2$)

Now $\dfrac{dK}{dt}=\dfrac{6-3a^2}{2}$

for Max. and Min. $\dfrac{dK}{dt}=0\Leftrightarrow a=\pm \sqrt{2}$

Now $\dfrac{d^2K}{dt^2}=-6a$

So $\dfrac{d^2K}{dt^2}<0$ i.e Maximum of $K$ for $a=\sqrt{2}$

and $\dfrac{d^2K}{dt^2}>0$ i.e Minimum of $K$ for $a=-\sqrt{2}$

So Max. $K(\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{6.\sqrt{2}-2.\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

and Min. $K(-\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$

We can easily use AM-GM inequality to solve this,like khacduongpro had done.And here is my solution:
Let $A^2=(x^3+y^3+z^2-3xyz)^2=(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)^2$
$=(2+2t)(2-t)^2$ with $t=xy+yz+zx$.
By using AM-GM inequality and applying a simple inequality $(x+y+z)^2 \geq 0$,we can easily prove that $-1 \leq t \le 2$.
And our problem is more easier to be solved by letting this function $K=f(t)=(2+2t)(2-t)^2(-1 \le t \le 2)$.
Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-03-2011 - 11:09