Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

bđt trong đề thi thử ĐH


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 mileycyrus

mileycyrus

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:hà nội

Đã gửi 05-03-2011 - 12:24

cho các số thực x,y,z tm x^2 + y^2 + z^2 =2
tìm max, min của x^3 + y^3 + z^3-3xyz
If u don't get a miracles
BECOME ONE !

#2 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 05-03-2011 - 12:34

cho các số thực $x,y,z$ tm $x^2 + y^2 + z^2 =2$
tìm max, min của $P=x^3 + y^3 + z^3-3xyz$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 05-03-2011 - 12:55

"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#3 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 05-03-2011 - 12:55

${P^2} = {(x + y + z)^2}{({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)^2}$

$= ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx) $
$ \le {({x^2} + {y^2} + {z^2})^3}=8 \Rightarrow P\leq 2\sqrt{2} $

Dấu "=" xảy ra khi $x,y,z$ là các hoán vị của $(0,0,\sqrt{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 05-03-2011 - 13:03

"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#4 mileycyrus

mileycyrus

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:hà nội

Đã gửi 05-03-2011 - 13:25

em k hiểu chỗ đoạn cuối => p < = (x2+y2+z2)^3
If u don't get a miracles
BECOME ONE !

#5 Elym4ever

Elym4ever

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 05-03-2011 - 22:02

em k hiểu chỗ đoạn cuối => p < = (x2+y2+z2)^3


Chỗ đó dùng Cauchy 3 số.

#6 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 05-03-2011 - 22:49

Áp dụng Cô-Si(AM-GM theo cách nhiều người gọi)! Cho 3 số sau:

$a= ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx)$

$b=({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)$

$c=({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx) $

Có: $abc\leq\(\dfrac{a+b+c}{3})^3 = {({x^2} + {y^2} + {z^2})^3}=8 \Rightarrow P\leq 2\sqrt{2} $

Dấu "=" xảy ra khi $x,y,z$ là các hoán vị của $(0,0,\sqrt{2})$

Thế đấy e ah!
"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#7 stuart clark

stuart clark

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 06-03-2011 - 10:45

Let $K=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$=(x+y+z)\left\{(x^2+y^2+z^2)-(\dfrac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2})\right\}$

$=\dfrac{(x+y+z)}{2}\left\{6-(x+y+z)^2\right\}$

and Let $a=(x+y+z)$,Then Expression is

$K=\dfrac{6a-a^3}{2}$(because $x^2+y^2+z^2=2$)

Now $\dfrac{dK}{dt}=\dfrac{6-3a^2}{2}$

for Max. and Min. $\dfrac{dK}{dt}=0\Leftrightarrow a=\pm \sqrt{2}$

Now $\dfrac{d^2K}{dt^2}=-6a$

So $\dfrac{d^2K}{dt^2}<0$ i.e Maximum of $K$ for $a=\sqrt{2}$

and $\dfrac{d^2K}{dt^2}>0$ i.e Minimum of $K$ for $a=-\sqrt{2}$

So Max. $K(\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{6.\sqrt{2}-2.\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

and Min. $K(-\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$

#8 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-03-2011 - 11:07

Let $K=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$=(x+y+z)\left\{(x^2+y^2+z^2)-(\dfrac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2})\right\}$

$=\dfrac{(x+y+z)}{2}\left\{6-(x+y+z)^2\right\}$

and Let $a=(x+y+z)$,Then Expression is

$K=\dfrac{6a-a^3}{2}$(because $x^2+y^2+z^2=2$)

Now $\dfrac{dK}{dt}=\dfrac{6-3a^2}{2}$

for Max. and Min. $\dfrac{dK}{dt}=0\Leftrightarrow a=\pm \sqrt{2}$

Now $\dfrac{d^2K}{dt^2}=-6a$

So $\dfrac{d^2K}{dt^2}<0$ i.e Maximum of $K$ for $a=\sqrt{2}$

and $\dfrac{d^2K}{dt^2}>0$ i.e Minimum of $K$ for $a=-\sqrt{2}$

So Max. $K(\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{6.\sqrt{2}-2.\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

and Min. $K(-\sqrt{2})=\dfrac{6a-a^3}{2}=\dfrac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$

We can easily use AM-GM inequality to solve this,like khacduongpro had done.And here is my solution:
Let $A^2=(x^3+y^3+z^2-3xyz)^2=(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)^2$
$=(2+2t)(2-t)^2$ with $t=xy+yz+zx$.
By using AM-GM inequality and applying a simple inequality $(x+y+z)^2 \geq 0$,we can easily prove that $-1 \leq t \le 2$.
And our problem is more easier to be solved by letting this function $K=f(t)=(2+2t)(2-t)^2(-1 \le t \le 2)$.
Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-03-2011 - 11:09

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh