Đến nội dung

Hình ảnh

đề thi hsg toán


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
choisiwon

choisiwon

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
đây là hai bài mình lấy trong một đề thi học sinh giỏi trường
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

$\begin{cases} & (x+y)^{2}+\dfrac{x^{2}(x^{2}+2)+1}{y^{2}} = 10 \\ & (x^{2}+1)+y(x+y)= 4y \end{cases}$
Bài 2: cho a,b,c và x,y,z là các số thực dương trong đó có x+y+z=3.
Chứng minh bất đẳng thức sau:
$(a+\dfrac{b}{x})^{4}+(a+\dfrac{b}{y})^{4}+(a+\dfrac{b}{z})^{4}\geq 3(a+b)^{4}$.
hết

#2
Elym4ever

Elym4ever

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
Bài 1 đặt $ a= \dfrac{x^{2}+1}{y} b=x+y$
bài toán viết thành
$\left\{ \begin{array}{l} a^{2}+b^{2} = 10 \\ a+b =4 \end{array} \right. $

Còn bài 2 sử dụng BĐT $ x^{4}+y^{4}+z^{4} \geq xyz(x+y+z) $

#3
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

đây là hai bài mình lấy trong một đề thi học sinh giỏi trường
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

$\begin{cases} & (x+y)^{2}+\dfrac{x^{2}(x^{2}+2)+1}{y^{2}} = 10 \\ & (x^{2}+1)+y(x+y)= 4y \end{cases}$
Bài 2: cho a,b,c và x,y,z là các số thực dương trong đó có x+y+z=3.
Chứng minh bất đẳng thức sau:
$(a+\dfrac{b}{x})^{4}+(a+\dfrac{b}{y})^{4}+(a+\dfrac{b}{z})^{4}\geq 3(a+b)^{4}$.
hết

Bài 2 sử dụng BĐT sau:
$ a^n+b^n+c^n \geq 3(\dfrac{a+b+c}{3})^n$
Ta sẽ được:
$(a+\dfrac{b}{x})^{4}+(a+\dfrac{b}{y})^{4}+(a+\dfrac{b}{z})^{4} \geq 3(\dfrac{3a+b(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})}{3})^4 \geq 3(\dfrac{3a+b(\dfrac{3^2}{x+y+z})}{3})^4$
Thay x+y+z=3 ta sẽ được đpcm

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#4
Elym4ever

Elym4ever

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
Cách của mình đây:
$VT \geq [3a+b( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z} ) ] (a+ \dfrac{b}{x})(a+ \dfrac{b}{y})(a+ \dfrac{b}{z}) $
Ta có $ 3a+b( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}) \geq 3(a+3b)$
$(a+ \dfrac{b}{x})(a+ \dfrac{b}{y})(a+ \dfrac{b}{z}) = a^{3}+ a^{2}b(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z})+ab^{2}(\dfrac{1}{xy} +\dfrac{1}{yz}+ \dfrac{1}{xz}) + \dfrac{b^{3}}{xyz}$
Dễ thấy $\dfrac{1}{xyz} \geq 27 $
$\dfrac{1}{xy}+ \dfrac{1}{yz} +\dfrac{1}{xz}= \dfrac{1}{xyz} \geq 27 $
$ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \geq 9$
Vậy
$(a+ \dfrac{b}{x})(a+ \dfrac{b}{y})(a+ \dfrac{b}{z}) \geq a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}=(a+3b)^{2}$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh