Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyễn Hoàng Nam]

Bài 1: Cho hình vuông ABCD có AB=a cố định. M là 1 điểm di chuyển trên đường AC. Kẻ $ME \perp AB, MF \perp BC$. Xác định vị trí của M trên AC sao cho $S_{DEF}$ nhỏ nhất. Tính GTNN đó.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên AD và CD lấy lần lượt các điểm M,N sao cho $\widehat{MBN}=45^0 $. BM và DN cắt AC theo thứ tự ở E,F.
a, Chứng minh: $E,M,F,N$ thuộc 1 đường tròn
b, MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I. Tính BI theo a.
c, Tìm vị trí của M và N sao cho $S_{MDN}$ lớn nhất.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của M trong tam giác sao cho $AMBC+BN.CA+CM.AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính AB, EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho $E \in $ cung AF và FE=R. AF cắt BE tại H, AE cắt BF tại C.
a, Tìm tập hợp C và H
b, Chứng minh: $AE.AC+BF.BC$ không đổi khi E,F di động trên nửa đường tròn.
c, Tìm vị trí của E, F để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính GTLN theo a.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 10-03-2011 - 19:10

[NguyThang khtn]

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên AD và CD lấy lần lượt các điểm M,N sao cho $\widehat{MBN}=45^0 $. BM và BN cắt AC theo thứ tự ở E,F.
a, Chứng minh: $E,M,F,N$ thuộc 1 đường tròn
b, MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I. Tính BI theo a.
c, Tìm vị trí của M và N sao cho $S_{MDN}$ lớn nhất.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của M trong tam giác sao cho $AMBC+BN.CA+CM.AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: nếu là BN thì mình làm được:
a,b) chắc bạn làm được!
c)ta dễ chứng minh:
2a=MN+ND+MD
đặt DM=x và ND=y $ \Rightarrow MN=\sqrt{x^2+y^2} \Rightarrow S_{MND} = \dfrac{xy}{2}$
Ta có:
$x+y \geq 2\sqrt{xy};\sqrt{x^2+y^2} \geq \sqrt{2xy}$
$ \Rightarrow 2a+x+y+\sqrt{x^2+y^2} \geq 2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy} =\sqrt{xy}(2+\sqrt{2}) \Rightarrow xy \leq \dfrac{2a}{2+\sqrt{2}}=a(2-\sqrt{2}) \Rightarrow xy \leq a^2{4-4\sqrt{2}) \Rightarrow S_{MND} = \dfrac{xy}{2} \leq a^2(2-2\sqrt{2})$
dấu bằng xảy ra khi $DM=DN=2-\sqrt{2}$
Bài 3:
Cuối tuần mình giải nốt cho giờ pahir học rùi!)

[trucng268]

Bài 1: Cho hình vuông ABCD có AB=a cố định. M là 1 điểm di chuyển trên đường AC. Kẻ . Xác định vị trí của M trên AC sao cho SDEF nhỏ nhất. Tính GTNN đó.

Hạ ME AB và MF BC
Đặt AE = x (0 ≤ x ≤ a).
Ta có: BE = a - x
∆ AEM vuông cân => EM = AE = x
Do BF = EM => BF = x => CF = a - x
Do đó: Diện tích các tam giác ADE, BEF, DCF là
SADE + SBEF + SDCF = 1/2AD.AE + 1/2BE.BF + 1/2DC.CF (sau đó đặt 1/2 ra làm nhân tử chung, r�#8220;i thế a và x vào biểu thức)

= 1/2 (ax + (a - x)x + (a - x)a)
= 1/2(-x2 + ax + a2 ) (-x2 có nghĩa là x mủ 2 đó tương tự đối với a)
= -1/2(x - a/2 )2 + (5.a2)/8 ≤ (5.a2)/8 (x - a/2)2 có nghĩa là tất cả bình, tương tự (5.a2)/8

Từ đó suy ra: SDEF = SABCD - (SADE + SBEF + SDCF) ≥ a2 - (5.a2)/8 = (3.a2)/8

Dấu ì=” xảy ra <=> x = a/2 <=> M trung điểm AC

Viì thế: min SDEF = (3.a2)/8 <=> M trung điểm AC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trucng268: 11-03-2011 - 11:39

[NguyThang khtn]

c, Tìm vị trí của M và N sao cho $S_{MDN}$ lớn nhất.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của M trong tam giác sao cho $AM.BC+BN.CA+CM.AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét ba trường hợp:
1)Nếu tam giác ABC có ba góc nhọn vẽ $BB_1;CC_1$ tương ứng vuông góc với đường thẳng AM.Ta có:
$S_{AMB}+S_{AMC} =\dfrac{1}{2}AM(BB_1+CC_1) \leq \dfrac{1}{2}AM.BC$
Tương tự ta có:
$S_{CMB}+S_{AMB} \leq \dfrac{1}{2}BM.BC$
$S_{CMB}+ \dfrac{1}{2}CM.BC$
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức , ta có:
$S_{AMB}+S_{AMC}+S_{BMC} \leq \dfrac{1}{2}(AM.BC+BN.CA+CM.AB) \Rightarrow AM.BC+BN.CA+CM.AB \geq 4S_{ABC}$
khi M là trực tâm của tg ABC.
1)Nếu tam giác ABC có một góc vuông chẳng hạn A vuông.
dễ thấy M trùng A.
khi đó:
MA=0
MB=AB
MC=AC
$ \Rightarrow min(AM.BC+BN.CA+CM.AB)=2AB.AC=4S_{ABC}$
3) nếu tam giác ABC có 1 góc tù!chẳng hạn góc tù là góc A.
vẽ tia Ax vuông góc với AC và nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là AC chứa điểm B .Lấy điểm P trên tia Ax sao cho AP=AB
Xét điểm M nằm trong tam giác APC .Vì tam giác ABP cân tại A.
$ \Rightarrow \widehat{APB}=\widehat{ABP} $
Ta có:$\widehat{MPB} \geq \widehat{APB} =\widehat{ABP} \geq \widehat{MBP} \Rightarrow MB \geq MP ; \widehat{CPB} > \widehat{CBP} \Rightarrow CB > CB' $
Do đó:$AM.BC+BN.CA+CM.AB \geq MA.CP+MP.AC+MC.AP \geq S_{APC}$ mà $4S_{APC}=2AP.AC=2AB.AC$ ko đổi!
Vậy $ \Rightarrow min(AM.BC+BN.CA+CM.AB)=2AB.AC}$ khi $M \equiv A$