Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Định lý Fermat Euler về tổng hai bình phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 30-07-2005 - 11:01

Định lý Fermat-Euler là một viên ngọc tuyệt vời của Toán học thế kỷ 17-18. Từ thời phổ thông, khi đọc được chứng minh (của Lagrange) dưới đây, tôi đã từng ngây ngất trước vẻ đẹp của nó. Nhiều năm sau, đọc lại bài viết của GS Tikhomirov trên tạp chí Kvant, tôi lại tiếp tục bất ngờ với những chứng minh mới của một kết quả cũ. Quá thích thú với bài báo, tôi đã dich ra tiếng Việt và nhiều lần truyền cái đẹp của các phép chứng minh thần diệu trong bài đến các thế hệ học sinh của tôi. Hôm nay, nhân cuộc thi BOM, tôi xin dành tặng bản dịch này cho các bạn

Định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương

V.Tikhomirov

Các bạn hãy để ý xem những số nguyên tố đầu tiên: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 … Các số 5, 13 và 17 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai bình phương:
http://dientuvietnam...imetex.cgi?d*^2 là số nguyên dương. Nghĩa là http://dientuvietnam...imetex.cgi?d*^2 và từ đó d* = 1! Định lý Minkowsky được chứng minh.

Nhưng kết quả tuyệt vời này thì có liên quan gì đến định lý Fermat-Euler? Liên quan trực tiếp đấy!
Ta biết từ bổ đề Wilson rằng số , trong đó chia hết cho p, đúng không? Bây giờ áp dụng định lý Minkowsky cho các số a = p, và . Ta thu được rằng tồn tại những số nguyên m và n sao cho

từ đó
Như thế (nhớ lại rằng a = p)

nghĩa là p là tổng của hai bình phương. Và một lần nữa định lý được chứng minh.

(Trần Nam Dũng dịch từ tạp chí Kvant – bản dịch năm 1995)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namdung: 01-08-2005 - 22:18


#2 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 31-07-2005 - 00:36

Bài thầy namdung tặng diễn đàn tuyệt hay :( Tôi xin phát biểu vài nhận xét nhỏ sau :

1) Định lý Minkowski, trong cách thứ ba, cách đây không lâu được naluv post lên đố mọi người

http://diendantoanho...wtopic=5504&hl=

và đã được hoang giải. Cách giải của hoang lại dùng một kết quả mạnh hơn (dù là hệ quả của) định lý Fermat-Euler : Một số nguyên n là tổng của 2 bình phương nếu và chỉ nếu mọi ước số nguyên tố dạng 4m+3 của n đều có số mũ chẵn trong phân tích thừa số nguyên tố của n.

Thiết nghĩ, vì ở đây (cách thứ ba) ta không muốn dùng kết quả trên (nếu không thì rắn cắn đuôi !) nên mới có phần "không sơ cấp" trong việc thiết lập bổ đề Minkowski.

2) Trong phần giới thiệu, thầy có nói về cách xuống thang của Fermat-Euler. Nhưng trong phần khai triển, không thấy cách ấy được trình bày.

3) Trong quyển "An Introduction to the Theory of Numbers", Hardy & Wright cung cấp 4 cách chứng minh của định lý Fermat-Euler. Cách thứ 2 (trong sách H & W) là cách của Lagrange. Cách thứ 3 của họ là xuống thang của Fermat-Euler. Còn cách thứ 4 cũng dùng khái niệm "lưới nguyên" trong mặt phẳng tọa độ, nhưng không "cao cấp" bằng cách Minkowski. Các tác giả cho rằng đây là cách của Grace.
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#3 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 31-07-2005 - 19:53

Cảm ơn về những nhận xét rất thú vị của bạn TieuSonTrangSi. Trong bài dịch này, tôi muốn giữ lại nguyên văn nội dung bài viết của GS Tikhomirov nên không đề cập tới cách chứng minh của Euler. Trong bài, đại từ "tôi" cũng chỉ GS Tikhomirov.

Về định lý Minkowsky, trong tài liệu về phương trình Diophant (Trường hè 2004) tôi có đề cập tới, cách chứng minh khá giống với cách chứng minh nêu trên nhưng thông qua một số bổ đề khá thú vị. Tôi trích lại nguyên văn phần trình bày trên:

Ví dụ 2: Bổ đề Minkowsky và định lý Minkowsky

Định lý Minkowsky là một ví dụ rất thú vị về ứng dụng của hình học trong lý thuyết số. Chúng ta bắt đầu từ một kết quả rất đơn giản nhưng hữu ích

Bổ đề 7.1. Trên mặt phẳng cho hình F có diện tích lớn hơn 1. Khi đó tồn tại hai điểm A, B thuộc F, sao cho véc tơ có tọa độ nguyên.

Chứng minh: Lưới nguyên cắt hình G thành các mẩu nhỏ. Chồng các mẩu này lên nhau, do tổng diện tích của các mẩu lớn hơn 1, nên có ít nhất 2 mẩu có điểm chung. Gọi A, B là hai điểm nguyên thuỷ ứng với điểm chung này thì A, B là hai điểm cần tìm.

Bổ đề 7.2. (Bổ đề Minkowsky) Trên mặt phẳng cho hình lồi F nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và có diện tích lớn hơn 4. Khi đó nó chứa một điểm nguyên khác gốc tọa độ.

Chứng minh: Xét phép vị tự tâm O, tỷ số 1/2 , biến F thành G. Do G có diện tích lớn hơn 1 nên theo bổ đề 1, tồn tại hai điểm A, B thuộc G sao cho véc-tơ AB có toạ độ nguyên. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O. Do hình G đối xứng qua gốc toạ độ nên A’ thuộc G. Do G lồi nên trung điểm M của A’B thuộc G. Gọi N là điểm đối xứng của O qua M thì N thuộc F và ON = AB, suy ra N là điểm nguyên khác O (đpcm).

Định lý 7.3. (Định lý Minkowsky) Cho a, b, c là các số nguyên, trong đó a > 0 và . Khi đó phương trình có nghiệm nguyên.

Để chứng minh định lý, ta sử dụng bổ đề và dùng đúng cái công thức tính diện tích ellipse đã nói trong bài viết của GS Tikhomirov.

Ban TSTS co thể post lời giải của Euler cho mọi người cùng tham khảo không?

Namdung

#4 K09

K09

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Sở thích:Toan hoc,Tin hoc ,Lich su va NHAC CO DIEN

Đã gửi 01-08-2005 - 09:38

Cách giải của DL Minkowski em nghix co the don gian hon nhu sau.Cach nay phu hop vvoi moi doi tuong va pho thong hon.Hon the no co co nhieu ung dung trong cac bai khac thay va cac ban xem thu xem nha.
Ta chứng minh định lý bằng qui nạp theo vì ta có thể giả sử rằng b :Rightarrow 0 .
Trươcá hết b=0,ihì dễ dàng .
Giả sử kd đúng với mọi 0,1,2,..,b-1 ta cm khẳng định đúng với b ^_^ 2Thật vậy Giả sử a :( c thì b :( a
Dùng phép đổi biến sau. thì ta có
trỏng đó A=a,B=b-a,C=c+a-2b thỏa mãn B^2=AC+1 và A>0,và
0 ^_^ B :infty b-1 .Sử dụng giả thiết qui nạp ta có DPCM.
Theo em nghĩ đây là cách chứng minh hay nhất.Thục ra con 1 cách nũa nhưnng nó không đơn giản như cách trên.hiện nay em đã tim rqa 3 cach cho chung minh Dl MKSki.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi K09: 01-08-2005 - 09:41

Maths is life. K09_PC87
Người ta sống để yêu thương và hi vọng chứ không sống để giận dữ hay thất bại.

#5 TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
  • Đến từ:Paris

Đã gửi 01-08-2005 - 16:23

Trước khi ghi ra thêm 2 cách chứng minh Euler-Fermat, xin nói hai chuyện nhỏ :

- Rất thích cách của K09 cho định lý Minkowski :clap Tìm ra thêm được cách nào thì em cứ post lên nhé !

- Trong bài của thầy Namdung hình như công thức tính diện tích ellipse đã biến mất :cry Sau hàng "Mà diện tích này thì bằng", trước câu "chỗ không sơ cấp duy nhất", trên máy tôi chỉ thấy một hàng trắng...

Cách xuống thang của Euler-Fermat
Vì -1 là thặng dư bậc hai đối với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x,m sao cho http://dientuvietnam...etex.cgi?0<m<p. Do đó, tập hợp các số nguyên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m (http://dientuvietnam...metex.cgi?0<m<p) sao cho tồn tại hai số nguyên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x,y thỏa mãn

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0 của tập hợp này. Nếu http://dientuvietnam...metex.cgi?m_0=1 thì ta có đpcm. Giả sử http://dientuvietnam...etex.cgi?m_0>1. Nhận xét rằng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m_0 không thể là ước số chung của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y, vì nếu sự việc này xảy ra, ta sẽ có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c,d sao cho hai số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1=x-cm_0 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_1=y-dm_0 thỏa mãn

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<m_1<m_0 (do bđt :()

Nhân hai vế của phương trình này với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2+y_2=m_0p, ta thu được

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xx_1+yy_1=x(x-cm_0)+y(y-dm_0)=m_0X, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X=p-cx-dy
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xy_1-x_1y=x(y-dm_0)-y(x-cm_0)=m_0Y, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y=cy-dx.

Đơn giản cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0^2 thì ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_1p=X^2+Y^2, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<m_1<m_0. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0.

Cách lưới nguyên của Grace
Cũng vì -1 là thặng dư bậc hai, tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\ell nguyên sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda của mặt phẳng, ta xét các điểm nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x,y) sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M (phải kiểm rằng đây là một lưới, nhưng không khó). Lấy một vòng tròn lớn có tâm tại gốc tọa độ. Trong vòng tròn này, tỷ lệ số điểm của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M "gần" bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1/p, và có giá trị tiệm cận là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1/p khi bán kính vòng tròn tiến tới vô cực. Vậy, diện tích của hình bình hành cơ bản của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M phải bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.

Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=(\xi,\eta) một điểm của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M nằm gần gốc tọa độ nhất. Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\eta\equiv\ell\xi\;&#091;p] nên

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-\xi\equiv\ell^2\xi\equiv\ell\eta\;&#091;p].

Vì thế, điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B=(-\eta,\xi) cũng thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Trong tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OAB không có điểm nào của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M (theo định nghĩa của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A). Trong hình vuông dựng trên các cạnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OA,OB, cũng không có điểm nào của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Do đó, hình vuông này là hình bình hành cơ bản của lưới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Diện tích của nó bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, tức là

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\xi^2+\eta^2=p.
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#6 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 01-08-2005 - 22:14

Cách chứng minh của K09 sử dụng kỹ thuật phương trình Markov và có nét giống với cách chứng minh của Tsagir (một cách diễn giải khác).

Trong bài của tôi, đúng là thiếu 1 dòng. Cái này là cái ma trận trong Equation nên chuyển sang bị mất hòan tòan. Nay tôi đánh lại.

#7 Fecma_Euler

Fecma_Euler

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 04-08-2005 - 15:23

Em không hiểu cách chứng minh của K09 có giông gì vớicách trên.Em thấy nó rất ngắn gọn đấy chứ.
Còn công thức tính d.t elip có thể sd tích phân được đấy chứ.

#8 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 04-08-2005 - 20:13

Em nhìn kỹ các phép biến đổi của Tsagir. Những cái đó đâu phải trên trời rơi xuống. Phải có lý giải tự nhiên nào đó chứ.

#9 madness

madness

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 137 Bài viết

Đã gửi 06-08-2005 - 15:04

Thầy namdung có thể nói qua về phương trình Markov và motivation của các phép biến đổi của Tsagir ko ạ? Nhìn vào chứng minh khó có thể nghĩ ra tại sao Tsagir nghĩ ra phép biến đổi kì lạ đó.

Ps: ko biết thầy còn nhớ một học sinh LHP chạy qua trường Tự nhiên hỏi thầy về chứng minh của định lý Chebyshev: có một số nguyên tố giữa n và 2n ko ạ? :)

#10 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 06-08-2005 - 15:27

Chắc bạn đó là madness đúng không? Nhưng cũng phải mấy năm rồi đúng không? Bây giờ em học ở đâu rồi? Về motivation của các phép biến đổi kỳ lạ của Tsagir, tôi sẽ đề cập tới sau nhé cần có nhiều thời gian, mà bây giờ tôi đang bận quá.

#11 pipibapi6

pipibapi6

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Đã gửi 02-08-2016 - 09:32

Cho em hỏi hệ quả ::Một số nguyên n là tổng của 2 bình phương nếu và chỉ nếu mọi ước số nguyên tố dạng 4m+3 của n đều có số mũ chẵn trong phân tích thừa số nguyên tố của n chứng minh thế nào ạ



#12 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 538 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-08-2016 - 21:04



Cho em hỏi hệ quả ::Một số nguyên n là tổng của 2 bình phương nếu và chỉ nếu mọi ước số nguyên tố dạng 4m+3 của n đều có số mũ chẵn trong phân tích thừa số nguyên tố của n chứng minh thế nào ạ

Mình chỉ biết cách chứng minh dùng vành các số nguyên trong $\mathbb{Q}[i]$. Không rõ bạn có muốn tham khảo.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh