Toán học là gì? Không nhất thiết phải biết chính xác, có điều sản phẩm của toán học chắc chắn sẽ là những công thức, những định lý, những giả thuyết, và những tư tưởng đẹp nhất, tương xứng nhất với với trực quan của con người. Và vẻ đẹp của toán học, cuối cùng sẽ là vẻ đẹp của trực quan.....
Con người đã tồn tại và phát triển qua hàng triệu năm lịch sử. Vậy còn toán học ? Có ý kiến cho rằng toán học chỉ mới thực sự phát triển với 1 trình độ cao trong khoảng vài thế kỷ gần đây. Lại có ý kiến cho rằng lịch sử toán học gần như đồng hành cùng với lịch sử thế giới. Cũng chưa biết chắc ai đúng ai sai, riêng bản thân tôi thì cho rằng toán học là thứ vốn đã tồn tại trước khi xuất hiện loài người. Vấn đề là ở chỗ con người đã nhận ra sự tồn tại của toán học vào thời điểm nào, và đã phát trỉển nó ra sao mà thôi
Sau những nỗ lực đi tìm bản chất của toán học, dường như vẫn chưa có câu trả lời thỏa đáng cho nỗi băn khoăn: " toán học là gì". Vả chăng, một câu hỏi như vậy liệu có nhất thiết phải trả lời hay không?!
Tôi còn nhớ, nhiều lần mình đã bị những bài toán nhỏ làm cho bứt rứt không yên. Nhiều đêm trằn trọc với hi vọng và quyết tâm nhất định phải tìm ra cho bằng được lời giải của chúng . Sẽ tuyệt vời biết bao khi lời giải đó đã có trong đầu, đã nắm đựơc trong tay. Những lúc như vậy, cái cảm giác sung sướng, hạnh phúc của chiến thắng, hiểu biết và sáng tạo khiến tôi như muốn nhấy cẫng lên, chạy bay đi đê gặp tất cả mọi người, để nói với họ 1 câu thôi: " này anh bạn, anh biết không, tôi đã giải được câu đố đó rồi, vâng, chính xác là câu đố đó đã có lời giải rồi- một lời giải tuyệt vời- và lời giải đó là của tôi đấy, vâng, chính xác là của tôi đấy".
Con người sinh ra vốn đã có cái tính ham hiểu biết, ưa khám phá và yêu cái đẹp như vậy. Và như thế thì hẳn các bạn đều đồng ý với tôi rằng những câu hỏi kiểu như:" toán học là gì, tại sao chúng ta lại phải học và làm toán, bản chất của toán học là như thế nào, toán học có đẹp không, vẻ đẹp của toán học trông ra sao...." đều được sinh ra từ tính hiếu kì của con người, và chính chúng đáp ứng tính hiếu kì đó. Vì vậy không hẳn là buộc phải có câu trả lời tuyệt đối chính xác, và thực ra cũng chưa chắc đã có câu trả lời tuyệt đối chính xác.
Nhưng dù là như vậy, tôi vẫn muốn đưa ra 1 cách nhìn về bản chất toán học và qua đó hi vọng chúng ta: bạn, và tôi có thể hiểu được phần nào vẻ đẹp đích thực của toán học.
Người ta thường nói toán học là tư duy trừu tượng, điều này đúng quá, nhưng có đúng hoàn toàn không?! Theo quan niệm của tôi con người vốn nhìn nhận thế giới bởi tư duy trực quan, và cái cách mà chúng ta tiếp cận toán học cũng là từ trực quan, từ trực quan mới sinh ra trừu tượng, do vậy toán học, thực chất cũng chính là 1 hình thái cao của tư duy trực quan
Ắt hẳn ai trong chúng ta cũng từng nghĩ hoặc từng nghe :"con người sở dĩ khác loài vật ở chỗ chúng ta có tư duy cao cấp hơn". Các bạn nhớ chú ý từ "cao cấp". Nếu nói như vậy phải chăng lòai vật cũng có tư duy? Có, tất nhiên là có. Tôi còn nhớ mãi câu chuyện vui giữa các nhà toán học: chuyện về chú lừa Buplerop. Chuyện là thế này: có 1 chú lừa, tên chú là Buplerop (tất nhiên!), chú đang đói meo và đang đứng giữa 2 bó cỏ thơm ngon giống hệt nhau. Cuối cùng, chú đã...chết vì ...đói !?!. " Tội nghiệp chú lừa đáng thương, nó đã trở thành vật thí mạng của nguyên lí thiếu cơ sở đủ"- các nhà toán học ngậm ngùi nói. Tại sao chú lại chết đói? Vâng, có lẽ chỉ có một nguyên nhân thôi, đó chính là vì chú không biết ăn bó cỏ nào trước. Nếu quả có thế thì dẫu sao chú lừa cũng còn biết tư duy, dù có hơi "ngu như..lừa".
Dĩ nhiên ai cũng biết câu truyện này hư cấu là chủ yếu, thậm chí đã lý tưởng hóa vấn đề, vì làm sao có thể có hai bó cỏ giống hệt nhau, chuyện đó thậm chí còn chưa vô lý bằng chuyện có một chú lừa có hàm răng đều chằn chặn !! Tuy nhiên tôi cũng không thấy cần thiêt phải lấy ra một dẫn chứng thuyêt phục hơn, vì lẽ các bạn đọc giả của tôi, với "tư duy cao cấp" chắc chắn sẽ có những cách đánh giá thỏa đáng của riêng mình.
Trong buổi hồng hoang nhân loại, tư duy của loài người thực ra không cao hơn loài vật là mấy. Nhưng thời gian dài trôi qua, toán học và các môn khoa học khác phát triển manh mẽ, dĩ nhiên sự phát triển đó song hành với sự đột biến trong tư duy của con người. Đến nay, tư duy dương như là một quyền năng được con người sử dụng đê kiểm soát cuộc sống, thiên nhiên và vũ trụ.
Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau làm một cuộc thám hiểm nhỏ, để thấy đuợc tư duy trực quan của con người và tư duy toán học khi kết hợp với nhau đã tạo nên nhưng tri thức đẹp đẽ nhường nào. Trong cuộc thám hỉểm này, tôi-với vai trò 1 người hướng dẫn viên- sẽ cùng các bạn độc giả tìm đến với 2 bảo vật của "lâu đài lượng giác". Cũng nên nói trước, vì đây là 1 cuộc thám hiểm chứ không phải tham quan nên có thể có nhiều bất trắc, mong các bạn vì thế mà có đề phòng trước vẫn hơn.
Thế kỉ 6 trước công nguyên, xứ Xamos, biển Aege, Hy lạp - quê hương của nhà toán học trứ danh Pithagore, và cũng là quê hương của định lý Pithagore nổi tiếng.
"Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông"
Chúng ta hãy lấy 1 tam giác vuông ABC (vuông tại A) và dựng trên 3 cạnh của nó các hình vuông như hình vẽ. Nội dung của định lý Pithagore bây giờ là: diện tích hình vuông lớn bằng tổng diện tích 2 hình vuông nhỏ. Để chứng minh định lý này, có rất nhiều cách, trong đó cách cắt ghép hình sau, nói chung là rất thú vị, mời các bạn thưởng thức.
Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với những khái niệm cơ bản của lượng giác học: đối với 1 góc, chẳng hạn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{ABC} ta định nghĩa các giá trị lượng giác của nó như sau: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin{\widehat{ABC}}=\dfrac{AC}{BC},\cos{\widehat{ABC}}=\dfrac{AB}{BC}, thế thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin^2{\widehat{ABC}}+\cos^2{\widehat{ABC}}=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1, như vậy đối với góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha bất kì ta có hệ thức: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1
Một đẳng thức quá đẹp, nhưng từ từ, chắc lẽ các bạn cũng đã nhận ra sơ hở của những điều tôi vừa trình bày. Vâng, đúng như vậy, bởi vì góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{ABC} không thể bằng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?0^0 hay http://dientuvietnam...imetex.cgi?90^0, và như thế thì hệ thức nói trên chưa chắc đã đúng với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha. Không sao, các bạn sẽ yên tâm tuyệt đối với cách định nghĩa chuẩn mực sau cho các hàm số lượng giác:
Cho hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn tâm O, bán kính 1, gọi là đuờng tròn lượng giác, xét 1 tia Oz bất kì tạo với Ox 1 góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha, tia này cắt đường tròn lượng giác tại A, khi đó tung độ và hoành độ của A lần lượt là giá trị của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin{\alpha},\cos{\alpha}. Bây giờ thì có thể thấy hệ thức nêu trên đã hoàn toàn đúng với mọi giá trị của góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha. Ta gọi đó là hệ thức cơ bản của lượng giác.
Bây giờ ta sẽ tiếp tục cuộc hành trình, trong nửa sau của chặng đường tôi sẽ cùng với các bạn tìm hiểu về 1 công thức tối quan trọng của lượng giác: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\cos{(\beta-\alpha)}=\cos{\alpha}\cdot{\cos{\beta}}+\sin{\alpha}\cdot{\sin{\beta}}. Để có thể chứng minh công thức này, có lẽ chúng ta nên tới với 1 hệ quả của định lý Pithagore:
Công thức khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng: trong mặt phẳng xét hệ trục tọa độ Oxy và 2 điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B(b_1,b_2),C(c_1,c_2), khi đó ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BC^2=(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2.
Công thức này có thể dễ dàng kiểm chứng, trên hình vẽ ta có tam giác vuông ABC với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AC=c_1-b_1,AB=c_2-b_2, và do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BC^2=AC^2+AB^2=(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2
Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh công thức nêu trên. Xét vòng tròn lượng giác với 2 góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha,\beta như hình vẽ. Khi đó A,B có tọa độ là: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(\cos{\alpha},\sin{\alpha}),B(\cos{\beta},\sin{\beta}). Áp dụng công thức khoảng cách ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AB^2=(\cos{\beta}-\cos{\alpha})^2+(\sin{\beta}-\sin{\alpha})^2=(\cos^2{\beta}+\sin^2{\beta})+(\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha})-2(\cos{\alpha}\cdot{\cos{\beta}}+\sin{\alpha}\cdot{\sin{\beta}})=2-2(\cos{\alpha}\cdot{\cos{\beta}}+\sin{\alpha}\cdot{\sin{\beta}})
.Bây giờ thực hiện phép đổi trục tọa độ zOz'. Khi đó tọa độ của A,B sẽ là: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(1,0),B(\cos{(\beta-\alpha)},\sin{(\beta-\alpha)}). Lại áp dụng công thức khoảng cách, ta có:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AB^2=[\cos{(\beta-\alpha)}-1]^2+\sin^2{(\beta-\alpha)}=[\cos^2{(\beta-\alpha)}+\sin^2{(\beta-\alpha)}]+1-2\cos{(\beta-\alpha)}=2-2\cos{(\beta-\alpha)}(**)
So sánh
và (**) quả thực công thức nêu trên đã được chứng minh hoàn toàn.Như vậy, để chứng minh công thức này ta đã tính AB theo hai cách, và thực chất đã sử dụng 1 bất biến trong phép đổi trục tọa độ, đây chính là nguyên nhân khiến cho công thức này trở nên tối quan trọng đối với lượng giác. Cũng nên nói thêm rằng: công thức này tự bản thân nó đã đã rất đẹp, rất hài hòa và rất hoàn hảo. Nhưng không chỉ thế, tư tưởng để chứng minh nó cũng thật là vô cùng độc đáo. Sẽ rất bất ngờ và thú vị nếu 1 ai đó trong số các bạn độc giả có thể tìm ra một tư tưởng đẹp đẽ hơn để dẫn tới 1 chứng minh tuyệt vời hơn nữa cho công thức này.Công thức đã được chứng minh, nhưng mọi chuyện chưa phải đã hết, có cách khác để chứng minh nó không, công thức đó có thể dẫn ta tới với những vẻ đẹp nào khác của toán học. Những trăn trở này, dĩ nhiên không chỉ chúng ta đang có được mà cả các nhà toán học chắc lẽ cũng đã từng đi qua. Hơn nữa không thể giải quyết được những câu hỏi này trong 1 sớm 1 chiều, công việc đầy khó khăn những cũng rất ý nghĩa này xin phép được dành cho các bạn độc giả của tôi.
Còn bây giờ, sau khi đã chiêm ngưỡng 2 bảo vật của lâu đài lượng giác, chắc lẽ các bạn cũng muốn tiếp tục cuộc hành trình để tới với những vẻ đẹp khác của lâu đài này, và sẽ còn tốt hơn nữa nếu như các bạn có thể góp 1 phần vào công việc xây dựng nên 1 lâu đài tuyệt mĩ. Điều này có thể thực hiện được hay không là hoàn toàn phụ thuộc vào khả năng toán học và tư duy trực quan nhạy bén của bạn. Các bạn cũng nên biết 1 điều: các công thức trên tuy thực sự đơn giản, nhưng để có thể cảm nhận được sự tồn tại của nó và trình bày nó 1 cách cụ thể, ắt không phải việc đơn giản. Để sáng tạo ra nó, các nhà toán học đã phải đổ mồ hôi, thậm chí đổ cả máu và nước mắt của mình. Con đường sáng tạo để tìm tới với vẻ đẹp đích thực của toán học quyết không bằng phẳng, mà đầy chông gai.
Cuối cùng, khi cuộc thám hiểm đã tạm dừng lại, có lẽ chúng ta hãy cứ cùng nhau thưởng thức nhưng nét đẹp của các con số, các hình họa, của những tư tưởng và của những phép chứng minh. Đoán chắc trong cuộc thám hiểm vừa rồi, không ít các bạn độc giả đã khá căng thẳng, bây giờ, ngồi tĩnh tâm lại và suy ngẫm về những gì vừa trải qua, có lẽ bạn sẽ có cảm giác như mình vừa trải qua 1 giấc mơ, một giấc mơ mà bây giờ nhớ lại, các bạn mới thấy vẻ đẹp đích thực của nó, và chính vẻ đẹp đó sẽ làm tan biến đi cái cảm giác căng thẳng vừa rồi. Vẻ đẹp toán học có một công hiệu như một thần dược, có điều trước khi bạn có được nó, nó dày vò bạn, làm cho bạn mệt mỏi,khiến bạn ức chế nhưng cũng chính nó tạo cho bạn cái quyết tâm phải chinh phục bằng được những kiến thức mà chưa ai biết đến, nó như khiêu khích khả năng sáng tạo của bạn, thử thách sự kiên nhẫn và nhẫn nại của bạn. Cuối cùng, nếu như bạn thực sự có đủ khả năng chinh phục được nó, nó sẽ trả cho bạn niềm vui của người chiến thắng, niềm vui của sáng tạo và quan trọng hơn là bạn sẽ có thể cảm nhận được vẻ đẹp toán học 1 cách toàn vẹn nhất. Nếu như lúc trước, với cảm quan toán học sâu sắc và 1 tư duy trực quan nhạy bén, các bạn có thể cảm nhận được sự tồn tại của 1 định lý thì bây giờ các bạn đã có nó trong tay, có thể dùng các giác quan của mình cảm nhận nó 1 cách cụ thể nhất, hoàn thiện nhất. Vẻ đẹp toán học đich thực, chính là vẻ đẹp của sáng tạo, được sinh ra từ tư duy trực quan của con người, đó thực sự là một vẻ đẹp hoàn hảo.
Toán học là gì? Không nhất thiết phải biết chính xác, có điều sản phẩm của toán học chắc chắn sẽ là những công thức, những định lý, những giả thuyết, và những tư tưởng đẹp nhất, tương xứng nhất với với trực quan của con người. Và vẻ đẹp của toán học, cuối cùng sẽ là vẻ đẹp của trực quan!
Tài liệu tham khảo:
1) Sáng tạo toán học - Polya
2) Tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 11 năm 2000
3) http://www.espritcar...onpythagore.gif
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BOM2005: 30-07-2005 - 17:11
