Thầy của em giao cho mấy bài lượng giác, những bài đầu thì dễ, giải gần hết rồi, còn 2 bài cuối mà nghĩ mãi vẫn chưa ra, mấy anh chị giải giúp em với, mốt em nộp rồi mà chưa ra.
1)
$\sin ^2 A + \sin ^2 B + \sin ^2 C = 2 + \dfrac{1}{6}(\cos A + \cos B + \cos C)$
2)
$\sin \dfrac{A}{2} + \sin \dfrac{B}{2} + \sin \dfrac{C}{2} = \dfrac{4}{3}(1 + \sin A\sin B\sin C)$
Những bài trên đều là tam giác đều, sử dụng bất đẳng thức để làm, mà em không dùng Cauchi được.Mấy bác HELP,HELP em với
Tớ làm câu 1, cách hơi dài nên ai có cách hay thì đóng góp nha :
Thật vậy theo BCS cho 6 số thì ta có:
$(cosA+cosB+cosC)^2 \le 3(cos^2A+cos^2B+cos^2C) \\ \Leftrightarrow (cosA+cosB+cosC)^2 \le 3(3-sin^2A-sin^2B-sin^2C)$
Mà theo giả thuyết ta có $\sin ^2 A + \sin ^2 B + \sin ^2 C = 2 + \dfrac{1}{6}(\cos A + \cos B + \cos C)$ cho nên
$2(cosA+cosB+cosC)^2 \le 18-6(sin^2A+sin^2B+sin^2C) \\ \Leftrightarrow2(cosA+cosB+cosC)^2 \le 18-12-(cosA+cosB+cosC) \\ \Leftrightarrow2(cosA+cosB+cosC)^2 \le 6-(cosA+cosB+cosC) \\ \Leftrightarrow (cosA+cosB+cosC)(2cosA+2cosB+2cosC+1) \le 6 $
Điều này đúng do ta có BĐT quen thuộc $cosA+cosB+cosC \le \dfrac{3}{2}$
Ta đã có điều đúng vậy nếu giả thuyết đúng thì dấu bằng trong các BĐT phải xảy ra hay$cosA+cosB+cosC = \dfrac{3}{2}$. Điều này chỉ có khi tam giác có tính chất đã nêu là tam giác đều thôi