Đến nội dung

Hình ảnh

BĐT Nesbit

* * * * * 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Đây là một BĐT có thể nói là khá quen thuộc đối với các anh chị - BĐT Nesbit. Em mong anh chị sẽ góp nhiều lời giải hay cho BĐT này.
Chứng Minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c thì
$ S = \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-05-2011 - 19:53
Latex

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Đây là một BĐT có thể nói là khá quen thuộc đối với các anh chị - BĐT Nesbit. Em mong anh chị sẽ góp nhiều lời giải hay cho BĐT này.
Chứng Minh rằng với mọi số thực không âm a,b,c thì
S = a/b+c + b/c+a + c/a+b :( 3/2

Tớ có 2 cách sau :
Bất đẳng thức cần cm tương đương với :
$ (\dfrac{a}{b+c} +1)+(\dfrac{b}{a+c}+1)+(\dfrac{c}{a+b}+1) \geq \dfrac {9}{2}$
$ \Leftrightarrow 2(a+b+c)(\dfrac{1}{a+b}+ \dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}) \geq 9 $
$ \Leftrightarrow [(a+b)+(a+c)+(b+c))(\dfrac{1}{a+b}+ \dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}) \geq 9 $
Cauchy 2 lần ta được đpcm.
Cách 2:
$ (\dfrac{a}{b+c} )+(\dfrac{b}{a+c})+(\dfrac{c}{a+b}) \geq \dfrac {3}{2}$
$ \Leftrightarrow (\dfrac{a^2}{a(b+c)} )+(\dfrac{b^2}{b(a+c)})+(\dfrac{c^2}{c(a+b)}) \geq \dfrac {3}{2}$
VT$ \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$
mà $ ab+bc+ca \leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
Từ đó ta được đpcm

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#3
h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
Cách 3: dùng dồn biến, nhưng có lẽ nó hơi mạnh tay

Cách 4:
Đăt: $M = \dfrac{a}{a+b} + \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a}$
$N = \dfrac{b}{a+b} + \dfrac{c}{b+c} + \dfrac{a}{c+a}$
Ta có: $M + N = 1$
Hơn nữa, với BDT Cô-si ta lại có:
$M + VT = \dfrac{a+c}{a+b} + \dfrac{b+a}{b+c} + \dfrac{c+b}{a+c} \ge 3$
Tương tự $N + VT \ge 3$
do đó: $M + N + 2VT \ge 6 \to VT \ge \dfrac{3}{2} \to \textup{dpcm!}$

Cách nữa: (5!)
Đặt $b+c = 2x, c+a =2y, a+b = 2z$ ta đưa BDT về Cm:
$\dfrac{y+z-x}{2x} + \dfrac{x+y-z}{2z} + \dfrac{z+x-y}{2y} \ge \dfrac{3}{2} \\ \Leftrightarrow (\dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{x}) + (\dfrac{y}{z} +\dfrac{z}{y}) + (\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}z}) \ge 6$
Hiển nhiên đúng theo BDT Cô-si!

rongden_167


#4
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Em xin giới thiệu thêm một số cách khác như sau
Cách 1: Ta có $S - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} \sum \dfrac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)} \geq 0$

Em xin thêm một cách khác
Đặt $x = \dfrac{a}{b+c} , y =\dfrac{b}{c+a} , z = \dfrac{c}{b+a}$ thì
$\dfrac{1}{1+x} + \dfrac{1}{1+y} + \dfrac{1}{1+z} = 2$. (1)
Ta phải chứng minh $x+y+z \geq \dfrac{3}{2}$
Thật vậy, giả sử $x+y+z < \dfrac{3}{2}$, thế thì theo BĐT Cauchy-Schwrazt ta có
$ \dfrac{1}{1+x }+ \dfrac{1}{1+y} + \dfrac{1}{1+z} \geq \dfrac{9}{3+x+y+z} > \dfrac{9 }{ 3+\dfrac{3}{2}} = 2$, mâu thuẫn với (1).
Vậy $x+y+z \geq \dfrac{3}{2}$, đó là đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-05-2011 - 19:59
Latex

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#5
khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết

Có ai có cách khác không?



Có 45 cách, em xem chi tiết trong sách "Những viên kim cương trong bất đẳng thức: (trần Phương) giá 270k!

PM: khi học cấp 3 a có 1 quyển, nhưng giờ đi học Đh không mang!
"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#6
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Anh có thể gửi một số cách giải lên đây được không ? Nếu tự nghĩ ra lời giải được thì tốt quá!

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#7
phuonganh_lms

phuonganh_lms

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
đây là file 45 cách chứng minh bđt Nesbit bạn tham khảo nha

File gửi kèm


Hình đã gửi


#8
khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết

đây là file 45 cách chứng minh bđt Nesbit bạn tham khảo nha


Em Down về rồi up lại đi! Nhiều khi nó bị lỗi!
"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#9
phuonganh_lms

phuonganh_lms

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết

Em Down về rồi up lại đi! Nhiều khi nó bị lỗi!

http://www.mediafire...2hy66ekfimfqeqi
được rồi đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 23-03-2011 - 22:34

Hình đã gửi


#10
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Mọi người có thể tìm cách chứng Minh khác ngoài 45 cách đó không?

Nếu không còn cách chứng minh BĐT Nesbit nào nữa thì mọi người có thể mở rộng, tổng quát hay nêu vài ứng dụng cho BĐT này không?

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#11
Hoanganh2001

Hoanganh2001

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

co may dang mo rong bdt nay

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh