Đến nội dung

Hình ảnh

bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
mình post bài nào cũng toàn bị chê là cũ thôi
vậy lên mở topic này đưa lên sono tập thể cho có tính tổng hợp :)
các bạn cứ chém nha!
1. cho a,b,c,d không âm tổng bằng 4. CmR:
$\dfrac{1}{5-abc}+\dfrac{1}{5-bcd}+\dfrac{1}{5-cda}+\dfrac{1}{5-dab}\leq 1$
2.giả sử $a_1,a_2,...,a_n$ thực dương có tích bằng 1
tìm hằng số $k=k(n)$ sao cho bdt luôn đúng:
$\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(1+a_{i})^k}\geq\dfrac{n}{2^k}$
3.a,b,c thực dương có $abc+a+c=b$
tìm max của:
$P=\dfrac{2}{1+a^2}-\dfrac{2}{1+b^2}+\dfrac{3}{1+c^2}$
4. cho n tự nhiên $x_i$ là các số thực
CmR$( \sum\limits_{i,j=1}^{n}|x_i-x_j|)^2 \leq \dfrac{2(n^2-1)}{3} \sum\limits_{i,j=1}^{n} (x_i-x_j)^2$
5.cho a,b,c dương , abc=1. CmR
$3\leq \sum \dfrac{a(3a+1)}{(a+1)^2} \leq a+b+c$
6.tìm ĐK cho các số dương k,l để bdt âu đúng với a,b,c không âm:
$\sum \dfrac{a}{b+c}+k \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} + l \dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} \geq \dfrac{3}{2} +k + \dfrac{l}{3}$
---------------
các bạn có bài nào cũ mà hay thì cũng đưa lên nhé!
cảm ơn các bạn :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 06-04-2011 - 18:28

Don't let people know what you think


#2
Giang1994

Giang1994

    C'est la vie

  • Thành viên
  • 249 Bài viết
nhiều vậy mà không ai chịu chém ak?

Don't let people know what you think


#3
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết
1. Cho a,b,c,d không âm tổng bằng 4. CmR:
$\dfrac{1}{5-abc}+\dfrac{1}{5-bcd}+\dfrac{1}{5-cda}+\dfrac{1}{5-dab}\leq 1$
Đặt $\ x=abc ; y=bcd;z=cda;t=dab $ . Ta phải cm:
$\sum \dfrac{1-x}{5-x} \geq 0 $
$\sum \dfrac{(1-x)(x+2)}{(5-x)(x+2)} \geq 0 $
Nếu $\ x \geq y $ thì : $\ (1-x)(2+x) \leq (1-y)(2+y) $ . Hơn nữa theo BDT AM-GM thì:
$\ x+y=bc(a+d) \leq \dfrac{1}{3} (a+b+c+d) ^3 = \dfrac{64}{27} $
nên ta có : $\ (5-x)(x+2) -(5-y)(y+2) =(x-y)(5-x-y) \geq 0 $
Áp dụng BDT Chebyshev ta có :
$\ 4( \sum \dfrac{(1-x)(x+2)}{(5-x)(x+2)} ) \geq ( \sum (1-x)(x+2) )( \sum \dfrac{1}{(5-x)(x+2)} ) $
Và bây giờ ta phải cm :
$\sum (1-x)(x+2) = 8- x- y- z- t- x^2- y^2- z^2- t^2 \geq 0 $
$\ f(a,b,c,d)=abc+bcd+cda+dab+(abc)^2+(bcd)^2+(cda)^2+dab)^2 $
Không mất tính tổng quát giả sử : $\ a \geq b \geq c \geq d $
Đặt $ m= \dfrac{a+c}{2} , u= \dfrac{a-c}{2} , t' = m^2 , v=u^2 $ và :
$\ g(u^2)=(m^2-u^2)(b+d)+2bdm+(m^2-u^2)^2 (b^2+d^2)+2b^2d^2(m^2+u^2) $
$\ g(u)=(t' -u)(b+d)+(t'-u)^2 (b^2+d^2) +2b^2d^2 (t'+u)+2bd \sqrt{t'} $
$\ g'(u)= -(b+d)-2(t'-v)(b^2+d^2) + 2b^2d^2 $
Bởi vì $\ t'-v=ac \geq bd $ nên $\ g'(u) \leq 0 \Rightarrow f(a,b,c,d ) = g(v) \leq 0 $
Vậy ta cm bài toán khi $\ a=b=c= \alpha , d=4-3 \alpha $ . Ta phải cm:
$\alpha ^3+3 \alpha ^2 (4-3 \alpha ) + \alpha ^6 + 3 \alpha ^4 (4-3 \alpha )^2 \leq 8 $
$\Leftrightarrow ( \alpha -1 )(7 \alpha ^4-4 \alpha ^3-3 \alpha ^2 -4 \alpha -2) \leq 0 $
BDT trên đúng , vì $\alpha \leq \dfrac{4}{3} $ nên $\(7 \alpha ^4-4 \alpha ^3-3 \alpha ^2 -4 \alpha -2) \leq 0 $
Đã xong . . . :D :delta

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtuanDQH: 07-04-2011 - 19:28

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#4
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết
3.a,b,c thực dương có $abc+a+c=b$
tìm max của:
$P=\dfrac{2}{1+a^2}-\dfrac{2}{1+b^2}+\dfrac{3}{1+c^2}$
Chém ngay : :D :delta
Từ giả thiết , ta có : $\ c= \dfrac{b-a}{1+ab} >0 $ . Thay vào P , ta thu được :
$\ P = \dfrac{2}{1+a^2}-\dfrac{2}{1+b^2}+ \dfrac{3(1+ab)^2}{b(1+ab)^2+(b-a)^2} = \dfrac{2(b^2-a^2)}{(1+a^2)(1+b^2)} + \dfrac{3(1+ab)^2}{(1+a^2)(1+b^2)} = \dfrac{(b-a)(5a-b)}{(1+a^2)(1+b^2)} +3 $
Áp dụng BDT AM-GM và Caychy-schwarz , ta có:
$\dfrac{(b-a)(5a-b)}{(1+a^2)(1+b^2)}= \dfrac{(3b-3a)(5a-b)}{3(1+a^2)(1+b^2)} \leq \dfrac{(3b-3a+5a-b)^2}{12(1+a^2)(1+b^2)} = \dfrac{(a+b)^2}{3(1+a^2)(1+b^2)} \leq \dfrac{(a+b)^2}{3(a+b)^2} = \dfrac{1}{3} $
Do đó $\ P \leq \dfrac{10}{3} $ , dấu bằng xảy ra khi : $\ a= \dfrac{1}{ \sqrt{2} } , b=\sqrt{2}, c= \dfrac{ \sqrt{2} }{4} $
Đã xong . . . :delta :delta :D
-------------------------------------------------
P/s: Đây chính là đề thi Olympic Toán Việt Nam $\ 2002 $

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#5
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

4. cho n tự nhiên $x_i$ là các số thực
CmR$( \sum\limits_{i,j=1}^{n}|x_i-x_j|)^2 \leq \dfrac{2(n^2-1)}{3} \sum\limits_{i,j=1}^{n} (x_i-x_j)^2$
6.tìm ĐK cho các số dương k,l để bdt âu đúng với a,b,c không âm:
$\sum \dfrac{a}{b+c}+k \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} + l \dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} \geq \dfrac{3}{2} +k + \dfrac{l}{3}$
---------------
các bạn có bài nào cũ mà hay thì cũng đưa lên nhé!
cảm ơn các bạn :infty

Chém giùm Giang vậy :infty:infty
Bài 4:
Không mất tính tổng quát,ta giả sử $ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}=0$.Ta có:
$ \sum\limits_{i,j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|= \sum\limits_{1 \le i<j \le n}(x_{i}-x_{j})=2 \sum\limits_{i=1}^{n}(2i-n-1)x_{i}$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarzt,ta có:
$\left( \sum\limits_{i,j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}| \right)^2 \le 4\left[ \sum\limits_{i=1}^{n}(2i-n-1)^2 \right]\left( \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^2 \right)=\dfrac{4n(n^2-1}{3}. \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^2$
Từ điều giả sử $ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}=0$,sử dụng khai triển Abel,ta có:
$ \sum\limits_{i,j=1}^{n}(x_{i}x_{j})^2=n \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^2 -\left( \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i} \right)\left( \sum\limits_{j=1}^{n}x_{j} \right)+n \sum\limits_{j=1}^{n}x_{j}^2=2n \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^2$
Suy ra $\left( \sum\limits_{i,j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}| \right)^2 \le \dfrac{2(n^2-1)}{3}. \sum\limits_{i,j=1}^{n}(x_{i}-x_{j})^2(Q.E.D)$

Bài 6:
Để ý các hằng đẳng thức Đại Số sau:
$\sum \dfrac{a}{b+c}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\sum_{sym}\dfrac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}$
$k.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}-k=-\dfrac{k}{2}.\sum_{sym}\dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}$
$l.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}-\dfrac{l}{3}=\dfrac{l}{3}.\sum_{sym}\dfrac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2}$
Nên ta đưa BĐT cần chứng minh về dạng sau:$S_{a}(a-b)^2+S_{b}(b-c)^2+S_{c}(c-a)^2 \ge 0$.Trong đó:
$S_{a}=\dfrac{1}{2(a+c)(b+c)}-\dfrac{k}{2(a^2+b^2+c^2}+\dfrac{l}{3(a+b+c)^2}$
$S_{b}=\dfrac{1}{2(a+c)(b+a)}-\dfrac{k}{2(a^2+b^2+c^2}+\dfrac{l}{3(a+b+c)^2}$
$S_{c}=\dfrac{1}{2(a+b)(b+c)}-\dfrac{k}{2(a^2+b^2+c^2}+\dfrac{l}{3(a+b+c)^2}$
Đến đây chắc bạn biết phải làm gì rồi nhé :infty
----------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:2 bài cũ mà hay đây :infty
Bài 1:Cho $n \ge 2$ và dãy $\{x_n \}>0$ thỏa mãn :$ \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}+1998}=\dfrac{1}{1998}$.Chứng minh rằng:
$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}} \ge 1998(n-1)$
Bài 2:Cho dãy $\{a_n \}>0$ thỏa mãn $\prod_{i=1}^{n}a_{i}=1$.Chứng minh rằng:$ \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n-1+a_{i}} \le 1$
2 bài này có cách giải hơi giống nhau (có thể nói 2 bài trên tương đương nhau) :in

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-04-2011 - 09:54

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết
Bài 1:[/b]Cho $n \ge 2$ và dãy $\{x_n \}>0$ thỏa mãn :$ \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}+1998}=\dfrac{1}{1998}$.Chứng minh rằng:
$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}} \ge 1998(n-1)$
Chém ngay . . . :infty :infty :infty
Ta có :
$\sum\limits_{i=1}^{n-1} \dfrac{1}{x_{i}+1998} = \dfrac{x_n}{1998(x_n+1998)} $
Sử dụng BDT AM-GM cho VT , ta có :
$\dfrac{x_n}{1998(x_n+1998)} \geq \dfrac{n-1}{ \sqrt[n-1]{\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i}+1998)} } } $
Tương tự rồi nhân từng vế , khai căn ta có ngay DPCM
Đã xong . . . :infty :infty
P/s: Đây là đề thi Olimpic toán Việt Nam $\ 1998 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtuanDQH: 11-04-2011 - 09:28

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#7
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết
Bài 2 : Chém ngay . . . :infty :infty
Với nhận xét rằng $\dfrac{n-1}{n-1+x_{i}} =1- \dfrac{x_{i}}{n-1+x_{i}} $ với mọi $\ i=1;2;3; $...$\ n $ , BDT cần cm được viết lại thành :
$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{x_{i}}{x_{i}+n-1} \geq 1 $
Bây giờ áp dụng BDT Cauchy-schwarz ta có :
$\ VT \geq \dfrac{( \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{x_{i}} )^2 }{ \sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}+n-1 } $
Do đó ta chỉ cần cm được :
$ ( \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{x_{i}} )^2 \geq \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} +n(n-1) $
Vì $\sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{x_{i}} )^2 = \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}+2 \sum\limits_{1 \leq i<j \leq n } \sqrt{x_{i}x_{j}} $
nên cần cm
$\sum\limits_{1 \leq i<j \leq n } \sqrt{x_{i}x_{j}} \geq \dfrac{n(n-1)}{2} (AM-GM) $
$\Rightarrow DPCM $
Đã xong . . . :infty :infty :infty
P/s: Đây là đề thi chọn đội tuyển $\ Romania 1999 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtuanDQH: 11-04-2011 - 09:26

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#8
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết
5.cho a,b,c dương , abc=1. CmR
$3\leq \sum \dfrac{a(3a+1)}{(a+1)^2} \leq a+b+c$
Mình mới chém được một nửa thôi :infty :infty :infty
Áp dụng BDT AM-GM ta có :
$\ VT \leq \sum \dfrac{a(3a+1)}{4a} = \dfrac{3(a+b+c)}{4} + \dfrac{3}{4} \leq (a+b+c) $
Do $\ (a+b+c) \geq 3 $ nên $\dfrac{3}{4} \leq \dfrac{(a+b+c)}{4} $

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#9
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
anhtuanDQH chém nhanh quá nhỉ :geq Đua thêm 1 bài cũ nữa xem sao :D
Cho dãy $\{x_n \}>0$ thỏa mãn $ \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{1+x_{i}}=1$.Chứng minh rằng:
$ \sum\limits_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}} \ge (n-1) \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{x_{i}}}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:Sau đây là các cách giải cho bài 3 :Click here
@anhtuanDQH:Xem lại bài giải bài 3 của mình đi nhé,cái chỗ dùng AM-GM ấy :geq)
@Giang1994:Đề bài 3 đúng chỉ là cho các số thực khác không mà thôi :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-04-2011 - 10:47

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#10
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết
Mình cũng xin góp zui :
Cho 2010 số thực dương $\ a_1,a_2 $ . . . $\ a_{2010} $ thỏa mãn :
$\dfrac{1}{1+a_1} + \dfrac{2}{2+a_2} + $ . . . $\dfrac{2010}{2010+a_{2010}} \geq 2009 $
Tìm GTLN của : $\ P=a_1a_2a_3 $...$\ a_{2010} $

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#11
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết

anhtuanDQH chém nhanh quá nhỉ :) Đua thêm 1 bài cũ nữa xem sao :D
Cho dãy $\{x_n \}>0$ thỏa mãn $ \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{1+x_{i}}=1$.Chứng minh rằng:
$ \sum\limits_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}} \ge (n-1) \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{x_{i}}}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:Sau đây là các cách giải cho bài 3 :Click here
@anhtuanDQH:Xem lại bài giải bài 3 của mình đi nhé,cái chỗ dùng AM-GM ấy :D)
@Giang1994:Đề bài 3 đúng chỉ là cho các số thực khác không mà thôi :D

Lời giải bài 3 của anh khác gì của em đâu , giống hệt nhau mà . . . .

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#12
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

mình post bài nào cũng toàn bị chê là cũ thôi
vậy lên mở topic này đưa lên sono tập thể cho có tính tổng hợp :(
các bạn cứ chém nha!
2.giả sử $a_1,a_2,...,a_n$ thực dương có tích bằng 1
tìm hằng số $k=k(n)$ sao cho bdt luôn đúng:
$\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(1+a_{i})^k}\geq\dfrac{n}{2^k}$

Bài này hình như không tôn tại $k$ tốt nhất.Nếu là dấu $\le$ thì $k=\log_{2} \left(\dfrac{n}{n-1} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-04-2011 - 10:26

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#13
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết

Bài này hình như không tôn tại $k$ tốt nhất.Nếu là dấu $\le$ thì $k=\log_{2} \left(\dfrac{n}{n-1} \right)$

Còn bài của em đấy anh không chém à

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtuanDQH: 17-04-2011 - 22:03

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#14
anhtuanDQH

anhtuanDQH

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết

Bài này hình như không tôn tại $k$ tốt nhất.Nếu là dấu $\le$ thì $k=\log_{2} \left(\dfrac{n}{n-1} \right)$

Đề bài đúng đó anh ạ , câu này trong sáng tạo BDT mà

Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi

NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
Hình đã gửi


#15
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Mình cũng xin góp zui :
Cho 2010 số thực dương $\ a_1,a_2 $ . . . $\ a_{2010} $ thỏa mãn :
$\dfrac{1}{1+a_1} + \dfrac{2}{2+a_2} + $ . . . $\dfrac{2010}{2010+a_{2010}} \geq 2009 $
Tìm GTLN của : $\ P=a_1a_2a_3 $...$\ a_{2010} $

Bài này thỉ cách làm không khác gì bài VMO 1998 mà anh đã post ở trên :( Chỉ khác biệt ở dấu đẳng thức xảy ra mà thôi :beat
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#16
S.Dave

S.Dave

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
Nhìn rắc rối thế :mellow:
___________________
anti stress
Cartier Ballon Bleu Automatic replica watch




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh