Chủ đề này có 9 trả lời

[soclocchocnhuconcoc]

cho a,b,c thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của:
(a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c)

[dark templar]

cho a,b,c thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của:
(a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c)

Bài này cũng cơ bản thôi bạn
Không mất tính tổng quát,ta giả sử $1 \le a \le b \le c \le 2$
Đặt $P=(a+b+c) \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)$
Khai triển P,ta có:$P=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}$
Viết lại biểu thức P dưới dạng sau:$P=f(a)=3+a \left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)+\dfrac{1}{a}(b+c)+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}(1 \le a \le b \le c \le 2)$
$f'(a)=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{b+c}{a^2}=\dfrac{(b+c)(a^2-bc)}{a^2bc} <0,\forall a \in [1;c]$
$ \Rightarrow P=f(a) \le f(1)=3+\dfrac{1}{b}+b+\dfrac{1+b}{c}+c \left(1+\dfrac{1}{b} \right)=f \left(c \right)$
$(1 \le a \le b \le c \le 2)$
$f' \left(c \right)=\dfrac{b+1}{b}-\dfrac{b+1}{c^2}=\dfrac{(b+1)(c^2-b)}{c^2b}>0,\forall c \in [b;2]$
Suy ra $P \le f \left(c \right) \le f(2)=\dfrac{11}{2}+\dfrac{3b}{2}+\dfrac{3}{b}=f(b)(1 \le b \le 2)$
$f'(b)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{b^2}=\dfrac{3(b^2-2)}{2b^2}$
Nhận thấy rằng bảng biến thiên của hàm số $f(b)$ có dạng $-,0,+$ nên ta có $f(b) \le \max \{f(2);f(3) \}=f(2)=f(1)=10$
Vậy $P_{\max}=10 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\b=c=2\end{array}\right. $
hoặc $ \left\{\begin{array}{l}a=b=1\\c=2\end{array}\right.$
------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:Bạn nhớ lấy hoán vị các bộ số $(a;b;c)$ nữa nhé và bài này còn một cách giải nữa mà không cần xài Đạo hàm,bạn thử suy nghĩ đi nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-04-2011 - 10:40

[anhtuanDQH]

Cho $\ x,y,z \in [1;2] $. Tìm giá trị lớn nhất của:
$\(x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z) $
Tớ có cách khác sử dụng pp ABC như sau :
Đặt $\ a= \dfrac{1}{x-1} -2 ; b= \dfrac{1}{y-1}-2 ; c= \dfrac{1}{z-1} -2 \Rightarrow a,b,c \in R^{+} $
$\Rightarrow x= \dfrac{a+2}{a+1} ; y= \dfrac{b+2}{b+1} ; c= \dfrac{c+2}{c+1} $
Ta sẽ cm: $\ f(a,b,c) \leq 10 $
Khai triển ra , ta có : $\dfrac{MN}{ \pi(a+2) \pi (a+1)} \leq 10 $
với $ M=(a+2)(b+1)(c+1)+(a+1)(b+2)(c+1)+(a+1)(b+1)(c+2) $
$ N=(a+1)(b+2)(c+2)+(a+2)(b+1)(c+2)+(a+2)(b+2)(c+1) $
Do đây là đa thức bậc nhất theo $\ ab+bc+ca $ nên đạt cực trị khi có hai biến bằng nhau . Do đó ta cần cm:
$\ f(a,a,c)= (2 \dfrac{a+2}{a+1}+ \dfrac{c+2}{c+1} )(2 \dfrac{a+1}{a+2} + \dfrac{b+1}{b+2} ) \leq 10 $
$\Leftrightarrow -(ac+3c)(ac+3a) \leq 0 $ (luôn đúng )
$\ DPCM $
Đã xong . . . .
Bạn thử kiểm tra xem có sai chỗ nào không nhá .. . .

[z0zLongBongz0z]

Em có cách khác không cần dùng đạo hàm (Vì em mới học lớp 10 mà!)
$P = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = 3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\$
Ta có
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{{a(b^2 + c^2 ) + b(c^2 + a^2 ) + c(a^2 + b^2 )}}{{abc}}\$
Do$a,b,c \in \left[ {1;2} \right]\$nên$\dfrac{1}{c} \le 1,\dfrac{1}{a} \ge \dfrac{1}{2}\$
$\dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{2} \leftrightarrow 2(a - c) \le ac \leftrightarrow 2b(a - c) \le abc\$
$\leftrightarrow a(b - c) + b(a - c) + c(b - a) \le abc\$
Lại có $(b - c)^2 \le (b - c)......\$
$\to a(b - c)^2 + b(a - c)^2 + c(b - a)^2 \le abc\$
$\leftrightarrow \dfrac{{a(b^2 + c^2 ) + b(c^2 + a^2 ) + c(a^2 + b^2 )}}{{abc}} \le 7\$
$\leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \le 7\$
$\leftrightarrow P = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = 3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \le 10\$
Vậy MaxP=10 (2 số bằng 1, 1 số bằng 2) hoặc (2 số bằng 2, 1 số bằng 1)
Nhớ thanks em nha!

[khacduongpro_165]

LOẠI NÀY CHỈ CẦN DÙNG CÔ-SI THÔI!

Bài toán tổng quát: Cho $a_1,a_2,...a_n\in [\alpha, \beta]$ tìm Max của $P=(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)(\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{k}{a_i})$ với: $k>0, \alpha ,\beta>0$

CHÚ Ý: Vì $a_i \in [\alpha,\beta]$ nên $(a_i-\alpha)(a_i-\beta)\leq 0$
hay: $a_i^2-(\alpha+\beta)a_i+\alpha.\beta\leq 0 \Rightarrow a_i+\dfrac{\alpha.\beta}{a_i} \leq (\alpha+\beta)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 04-04-2011 - 23:44

[khacduongpro_165]

LOẠI NÀY CHỈ CẦN DÙNG CÔ-SI THÔI!

Bài toán tổng quát: Cho $a_1,a_2,...a_n\in [\alpha, \beta]$ tìm Max của $P=(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)(\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{k}{a_i})$ với: $k>0, \alpha ,\beta>0$

CHÚ Ý: Vì $x_i \in [\alpha,\beta]$ nên $(a_i-\alpha)(a_i-\beta)\leq 0$
hay: $(a_i^2-(\alpha+\beta)a_i+\alpha.\beta\leq 0 \Rightarrow a_i+\dfrac{\alpha.\beta}{a_i} \leq (\alpha+\beta)$ $(1)$

Đến đây cho $i=1,2,3..,n$ rồi dùng Cô-Si là được!

Đặt $A=\dfrac{P}{k}.\alpha.\beta= (\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)(\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\alpha.\beta}{a_i})$

Suy ra: $A\leq (\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i+\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\alpha.\beta}{a_i}}{2} )^2$

Rồi áp dụng BĐT $(1)$ là được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 04-04-2011 - 21:18

[soclocchocnhuconcoc]

Bài này cũng cơ bản thôi bạn
Không mất tính tổng quát,ta giả sử $1 \le a \le b \le c \le 2$
Đặt $P=(a+b+c) \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)$
Khai triển P,ta có:$P=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}$
Viết lại biểu thức P dưới dạng sau:$P=f(a)=3+a \left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)+\dfrac{1}{a}(b+c)+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}(1 \le a \le b \le c \le 2)$
$f'(a)=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{b+c}{a^2}=\dfrac{(b+c)(a^2-bc)}{a^2bc} <0,\forall a \in [1;c]$
$ \Rightarrow P=f(a) \le f(1)=3+\dfrac{1}{b}+b+\dfrac{1+b}{c}+c \left(1+\dfrac{1}{b} \right)=f \left(c \right)$
$(1 \le a \le b \le c \le 2)$
$f' \left(c \right)=\dfrac{b+1}{b}-\dfrac{b+1}{c^2}=\dfrac{(b+1)(c^2-b)}{c^2b}>0,\forall c \in [b;2]$
Suy ra $P \le f \left(c \right) \le f(2)=\dfrac{11}{2}+\dfrac{3b}{2}+\dfrac{3}{b}=f(b)(1 \le b \le 2)$
$f'(b)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{b^2}=\dfrac{3(b^2-2)}{2b^2}$
Nhận thấy rằng bảng biến thiên của hàm số $f(b)$ có dạng $-,0,+$ nên ta có $f(b) \le \max \{f(2);f(3) \}=f(2)=f(1)=10$
Vậy $P_{\max}=10 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\b=c=2\end{array}\right. $
hoặc $ \left\{\begin{array}{l}a=b=1\\c=2\end{array}\right.$
------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:Bạn nhớ lấy hoán vị các bộ số $(a;b;c)$ nữa nhé và bài này còn một cách giải nữa mà không cần xài Đạo hàm,bạn thử suy nghĩ đi nhé

em cũng có làm cách này nhưng thầy giáo nói không thể sắp xếp thứ tự a,b,c được mà chỉ có thể giả sử một trong 3 số là ssos lớn nhất thôi.

[khacduongpro_165]

em cũng có làm cách này nhưng thầy giáo nói không thể sắp xếp thứ tự a,b,c được mà chỉ có thể giả sử một trong 3 số là ssos lớn nhất thôi.

Nếu làm như trên thì vẫn được mà em? Vì các biến đối xứng hoàn toàn nên sắp xếp được mà. Trong toán có định lý sắp tốt, thừa nhận cái này mà!

[soclocchocnhuconcoc]

Đến đây cho $i=1,2,3..,n$ rồi dùng Cô-Si là được!

Đặt $A=\dfrac{P}{k}.\alpha.\beta= (\sum\limits_{i=1}^{n}a_i)(\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\alpha.\beta}{a_i})$

Suy ra: $A\leq (\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i+\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\alpha.\beta}{a_i}}{2} )^2$

Rồi áp dụng BĐT $(1)$ là được!

làm cách may max = 81/8 chứ không bằng 10 và dấu bằng không xảy ra. trong quá trình dùng côsi có lẽ anh(chị) đã không để ý đến dấu bằng rồi.
còn cách sắp xếp thứ tự em cũng không rõ về định lí gì đó. nếu được thì anh (chị) nói dùm em với

[dark templar]

Đây là bài toán tổng quát:
Cho các số thực $a_{i}(i=\overline {1,n}) \in [p;q](p \ge 0)$.Chứng minh rằng:
$ \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}. \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_{i}} \le n^2+k_{n}.\dfrac{(p-q)^2}{4pq}$
Trong đó $k_{n}= \left\{\begin{array}{l}n^2(n |2)\\n^2-1(n \not |2)\end{array}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-04-2011 - 19:02