Cho 0<k<http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{4}. Hàm f giới nội trong tập các số thực dương thỏa mãn: http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=f(x^{2}+k).
Chứng minh rằng f là hàm hằng trên tập các số thực dương.
Bài này em đã có một lời giải nhưng nó không mấy dễ chịu...Mọi người thử xem!
Phương trình hàm! Cực ớn!
Bắt đầu bởi
Khách- Snowman_*
, 02-08-2005 - 11:33
#2
Đã gửi 25-08-2005 - 10:03
mathematical_olympiads
-
- Thành viên
-
- 24 Bài viết
Binh nhất
(Cho 0<k<1/4. Hàm f giới nội trong tập các số thực dương thỏa mãn: .f(x)=f(x^{2} +k)
Chứng minh rằng f là hàm hằng trên tập các số thực dương.
Gọi x1và x2 là 2 nghiệm của phương trình x=x^{2}+k . Giả sử x1<x2.
xét dãy an sau : a0=a , a a_{n+1} = a^{2}n+k
do đó ta có f(a_{n+1} )=f(a^{2}n+k )=f(
)=...=f(a_{0})=f(a)
. xét a <x1
chứng minh quy nạp được an+1>an dãy tăng bị chặn trên bởi x1
nên lim an= x1
.xét x1<a<x2.
chứng minh quy nạp dãy giảm bị chặn . nên lim an=x1
vậy f(a)=...= lim f(an)= f(x1)
.xét a>x2
xét dãy : an= a^{2}n+1 +k
chứng minh được dãy giảm bị chặn dưới bởi x2
vậy f(a)=...= lim f(an)= f(x2)
Đến đây cần chứng minh f(x1)= f(x2)
Chứng minh rằng f là hàm hằng trên tập các số thực dương.
Gọi x1và x2 là 2 nghiệm của phương trình x=x^{2}+k . Giả sử x1<x2.
xét dãy an sau : a0=a , a a_{n+1} = a^{2}n+k
do đó ta có f(a_{n+1} )=f(a^{2}n+k )=f(
)=...=f(a_{0})=f(a) . xét a <x1
chứng minh quy nạp được an+1>an dãy tăng bị chặn trên bởi x1
nên lim an= x1
.xét x1<a<x2.
chứng minh quy nạp dãy giảm bị chặn . nên lim an=x1
vậy f(a)=...= lim f(an)= f(x1)
.xét a>x2
xét dãy : an= a^{2}n+1 +k
chứng minh được dãy giảm bị chặn dưới bởi x2
vậy f(a)=...= lim f(an)= f(x2)
Đến đây cần chứng minh f(x1)= f(x2)
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
