Chủ đề này có 6 trả lời

[Elym4ever]

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh:
$\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+2a}}+\dfrac{b}{\sqrt[n]{c+2b}}+\dfrac{c}{\sqrt[n]{a+2c}} \leq \sqrt[n]{(a+b+c)^{n-1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Elym4ever: 10-04-2011 - 09:59

[dark templar]

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh:
$\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+2a}}+\dfrac{b}{\sqrt[n]{c+2b}}+\dfrac{c}{\sqrt[n]{a+2c}} \leq \sqrt[n]{(a+b+c)^{n-1}}$

Viết lại BĐT dưới dạng sau:$\dfrac{a.\sqrt[n]{(b+2a)^{n-1}}}{b+2a}+\dfrac{b.\sqrt[n]{(2b+c)^{n-1}}}{2b+c}+\dfrac{c.\sqrt[n]{(2c+a)^{n-1}}}{2c+a} \le \sqrt[n]{(a+b+c)^{n-1}}$
Vì tính thuần nhất của BĐT,ta chuẩn hóa $a+b+c=1$.BĐT tương đương với:$\dfrac{a.\sqrt[n]{(b+2a)^{n-1}}}{b+2a}+\dfrac{b.\sqrt[n]{(2b+c)^{n-1}}}{2b+c}+\dfrac{c.\sqrt[n]{(2c+a)^{n-1}}}{2c+a} \le 1$
Sử dụng BĐT AM-GM,ta có:$VT \le \sum_{cyc}\dfrac{[(n-1)(2a+b)+1]a}{n(2a+b)} \le 1$
Khúc còn lại chỉ là biến đổi tương đương mà thôi
Đẳng thức xả ra khi $a=b=c$

[Elym4ever]

Bài này ai có cách khác nữa không.

[Elym4ever]

Hôm nay mình sáng tạo thêm 1 bài bđt nữa. Mọi người cho ý kiến nha:
Cho $ a,b,c>0 $ . Chứng minh:
$ \dfrac{(a+b+c)^{2}}{3abc} \geq \dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c} \geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc} $

[khanh3570883]

Hôm nay mình sáng tạo thêm 1 bài bđt nữa. Mọi người cho ý kiến nha:
Cho $ a,b,c>0 $ . Chứng minh:
$ \dfrac{(a+b+c)^{2}}{3abc} \geq \dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c} \geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc} $

Sáng tạo nhầm rồi bạn

[khanh3570883]

Hôm nay mình sáng tạo thêm 1 bài bđt nữa. Mọi người cho ý kiến nha:
Cho $ a,b,c>0 $ . Chứng minh:
$ \dfrac{(a+b+c)^{2}}{3abc} \geq \dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c} \geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc} $

Ví dụ như phần đầu:
$\dfrac{(a+b+c)^2}{3abc}\geq\dfrac{3(ab+bc+ca)}{3abc}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

[Elym4ever]

Để mình xem lại nhưng phần sau chắc chắn là đúng đó