Chủ đề này có 2 trả lời

[shayne ward]

Câu 1: (3đ)
Giải pt sau trên tập số thực
$ \sqrt{1+ \sqrt{1-x^2} } [ \sqrt{(1+x)^3}- \sqrt{(1-x)^3}]=2+ \sqrt{1-x^2} $

Câu 2: (4đ)
Cho p là số nguyên tố lẻ. Cm rằng không tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn hệ thức $x^p+y^p=p[(p-1)!]^p$

Câu 3: (3đ)
Qua điểm S bất kì thuộc mặt cầu bán kính R ta dựng các đường thẳng đôi một hợp với nhau một góc $\alpha$, cắt mặt cầu tại các điểm A,B,C (khác S) sao cho $SA=SB=SC$. Xác định $\alpha$ để thể tích khối chóp $S.ABC$ lớn nhất

Câu 4: (3đ)
Cho tam giác ABC không tù nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và $A_o,B_o,C_o $lần lượt là hình chiếu của G lên BC,CA,AB. Các đường thẳng qua A,B,C lân 2lượt vuông góc với GA,GB,GC và đôi một cắt nhau tại $A_1,B_1,C_1(A \in B_1C_1, B \in A_1C_1, C \in A_1B_1)$. Gọi $S_o,S_1$ lần lượt là diện tích các tam giác $A_oB_oC_o, A_1B_1C_1.$
CM $\dfrac{32}{27} \leq S_oS_1 \leq \dfrac{27}{16} $

Câu 5 (3đ)
Cho dãy số $(x_n) $xác định bởi
$x_1= \dfrac{1}{4}, x_n= \dfrac{x_1+4x_2+9x_3+...+(n-1)^2x_{n-1}}{n^2(n-1)}$
với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1. Tìm $ lim_{n \to +\infty }(30n^2-4n+2011)x_n$

Câu 6: (4đ)
Tìm tất cả các hàm số $f:[1;+ \infty) \to [1;+ \infty)$ thỏa mãn điều kiện
$f(xf(y))=yf(x) \forall x,y \in [1;+ \infty)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shayne ward: 10-04-2011 - 19:09

[shayne ward]

Mọi người xem đề lớp 10: http://forum.mathsco...ead.php?t=18472
và kết quả: http://forum.mathsco...ead.php?t=18492

[supermember]

Câu 2: (4đ)
Cho p là số nguyên tố lẻ. Cm rằng không tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn hệ thức $x^p+y^p=p[(p-1)!]^p$

Vui vui tí vậy :

Giả sử tồn tại các số nguyên $ x ; y $ thỏa yêu cầu bài toán :

Theo định lý Fermat nhỏ ; ta có : $x^p+y^p \equiv x + y \equiv 0 ( \mod p )$

$ \implies x \equiv -y ( \mod p ) \ \ (1)$

Ta có : $ x^p + y^p = (x+y) ( x^{p-1} - x^{p-2}y + ......- xy^{p-2} + y^{p-1} )$

Trong đó :

$ x^{p-1} - x^{p-2}y + ....-xy^{p-2}+y^{p-1} = x^{p-1} + x^{p-2} (-y) + ... + x (-y)^{p-2} + (-y)^{p-1}$

$\equiv px^{p-1} \equiv 0 ( \mod p )$

( Áp dụng $(1)$ )

$ \implies p^2 | x^p + y^p$ nhưng dễ thấy là $ p^2 \not | p[(p-1)!]^p$

Nên giả sử ban đầu là sai và ta có điều phải chứng minh