Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Đa thức hệ số nguyên sao $P(m)$ là số chính phương thì bậc chẵn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hoduckhanhgx

hoduckhanhgx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 14-04-2011 - 15:28

Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn



#2 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 21-08-2013 - 12:46

Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn

Vì $\forall m\in \mathbb{N}, P(m)$ là số chính phương nên $P(x)=(a_{n}x^{n}+...+a_{0})^{2}$ $\Rightarrow deg P(x)\vdots 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 21-08-2013 - 12:46


#3 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 21-08-2013 - 16:10

Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn

Giả sử rằng bậc của $P(x)$ lẻ

Khi đó sẽ tồn tại $1$ số nguyên $a$ thích hợp sao cho

$\lim P(a)\rightarrow -\infty$

Nhưng $P(a)$ là số chính phương

Mâu thuẫn  :icon6: 

Nên bậc $P$ là chẵn


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#4 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 21-08-2013 - 17:33

Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử bậc $P(x)$ là lẻ. Khi đó luôn tồn tại số nguyên $m$ để $P(m)<0$ do đó $P(m)$ không là số chính phương 

Thật vậy chỉ cần tính $lim$ $P(x)$ khi $x\rightarrow -\infty$ và $x\rightarrow +\infty$. Một trong hai $lim$ đó $-\infty$. Do đó với $m$ đủ nhỏ (hoặc đủ lớn) thì $P(m)<0$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh