Đến nội dung

Hình ảnh

Đa thức hệ số nguyên sao $P(m)$ là số chính phương thì bậc chẵn

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
hoduckhanhgx

hoduckhanhgx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn



#2
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn

Vì $\forall m\in \mathbb{N}, P(m)$ là số chính phương nên $P(x)=(a_{n}x^{n}+...+a_{0})^{2}$ $\Rightarrow deg P(x)\vdots 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 21-08-2013 - 12:46


#3
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn

Giả sử rằng bậc của $P(x)$ lẻ

Khi đó sẽ tồn tại $1$ số nguyên $a$ thích hợp sao cho

$\lim P(a)\rightarrow -\infty$

Nhưng $P(a)$ là số chính phương

Mâu thuẫn  :icon6: 

Nên bậc $P$ là chẵn


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#4
AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết

Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử bậc $P(x)$ là lẻ. Khi đó luôn tồn tại số nguyên $m$ để $P(m)<0$ do đó $P(m)$ không là số chính phương 

Thật vậy chỉ cần tính $lim$ $P(x)$ khi $x\rightarrow -\infty$ và $x\rightarrow +\infty$. Một trong hai $lim$ đó $-\infty$. Do đó với $m$ đủ nhỏ (hoặc đủ lớn) thì $P(m)<0$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh