Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn
Đa thức hệ số nguyên sao $P(m)$ là số chính phương thì bậc chẵn
#1
Đã gửi 14-04-2011 - 15:28
#2
Đã gửi 21-08-2013 - 12:46
Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn
Vì $\forall m\in \mathbb{N}, P(m)$ là số chính phương nên $P(x)=(a_{n}x^{n}+...+a_{0})^{2}$ $\Rightarrow deg P(x)\vdots 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 21-08-2013 - 12:46
- cool hunter, barcavodich và LNH thích
#3
Đã gửi 21-08-2013 - 16:10
Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn
Giả sử rằng bậc của $P(x)$ lẻ
Khi đó sẽ tồn tại $1$ số nguyên $a$ thích hợp sao cho
$\lim P(a)\rightarrow -\infty$
Nhưng $P(a)$ là số chính phương
Mâu thuẫn
Nên bậc $P$ là chẵn
- cool hunter, henry0905, hoangkkk và 3 người khác yêu thích
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#4
Đã gửi 21-08-2013 - 17:33
Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử bậc $P(x)$ là lẻ. Khi đó luôn tồn tại số nguyên $m$ để $P(m)<0$ do đó $P(m)$ không là số chính phương
Thật vậy chỉ cần tính $lim$ $P(x)$ khi $x\rightarrow -\infty$ và $x\rightarrow +\infty$. Một trong hai $lim$ đó $-\infty$. Do đó với $m$ đủ nhỏ (hoặc đủ lớn) thì $P(m)<0$
- henry0905, hoangkkk, barcavodich và 3 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh