Mọi người giúp mình chứng minh định lí này với:
giả sử: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n}=L$ ; $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = M$
chứng minh rằng
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({u_n}{v_n}) = LM$
Lâu quá không có ai chém, mình xin phép.
Ta có đẳng thức:
$u_n v_n - LM = \left( {u_n - L} \right)\left( {v_n - M} \right) + L\left( {v_n - M} \right) + M\left( {u_n - L} \right)$
Vì $\lim u_n = L,\,\lim v_n = M$ nên với $\varepsilon > 0$ cho trước, ta tìm được $p_1, p_2$ sao cho:
Khi $n > p_1 $ thì $\left| {u_n - L} \right| < \sqrt \varepsilon $, khi $n > p_2 $ thì $\left| {v_n - M} \right| < \sqrt \varepsilon $.
Gọi $p = \max \left( {p_1 ,p_2 } \right)$ thì khi $n > p$ ta có:
$\left| {u_n v_n - LM} \right| < \varepsilon + \left| L \right|\sqrt \varepsilon + M\sqrt \varepsilon \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {u_n v_n - LM} \right) = 0$.
Từ đó ta có đpcm.
