Chủ đề này có 4 trả lời

[wonderboy]

$e^{ \dfrac{2x}{1-x^2}} + \dfrac{x^2+2x-1}{1-x^2} = eln( \dfrac{1+(e-1)2x-x^2}{1-x^2}) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wonderboy: 17-04-2011 - 20:53

[wonderboy]

giúp mình bài với

[E. Galois]

$e^{ \dfrac{2x}{1-x^2}} + \dfrac{x^2+2x-1}{1-x^2} = eln( \dfrac{1+(e-1)2x-x^2}{1-x^2}) $

ĐK x 1, x -1.

Đặt $t = \dfrac{{2x}}{{1 - x^2 }} $, ta có

$e^t + t - 1 = e\ln {\rm{[}}1 + (e - 1)t{\rm{]} (1)$

Đặt

$ \begin{array}{l} f(t) = e^t + t - 1 - e\ln [1 + (e - 1)t] \\\\ \Rightarrow f'(t) = e^t + 1 - \dfrac{{e(e - 1)}}{{1 + (e - 1)t}} \\\\ \Rightarrow f''(t) = e^t + \dfrac{{e(e - 1)^2 }}{{\left[ {1 + (e - 1)t} \right]^2 }} > 0,\forall t \ne \dfrac{1}{{1 - e}} \\\\ \end{array}$

Vậy f(t) = 0 có không quá 2 nghiệm.
Dễ thấy t = 0 và t = 1 là 2 nghiệm của pt (1)
Với t = 0 ta có x = 0
Với t = 1, ta có $ x = - 1 \pm \sqrt 2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-04-2011 - 09:32

[wonderboy]

ĐK x 1, x -1.

Đặt $t = \dfrac{{2x}}{{1 - x^2 }} $, ta có

$e^t + t - 1 = e\ln {\rm{[}}1 + (e - 1)t{\rm{]} (1)$

Đặt

$ \begin{array}{l} f(t) = e^t + t - 1 - e\ln [1 + (e - 1)t] \\\\ \Rightarrow f'(t) = e^t + 1 - \dfrac{{e(e - 1)}}{{1 + (e - 1)t}} \\\\ \Rightarrow f''(t) = e^t + \dfrac{{e(e - 1)^2 }}{{\left[ {1 + (e - 1)t} \right]^2 }} > 0,\forall t \ne \dfrac{1}{{1 - e}} \\\\ \end{array}$

Vậy f(t) = 0 có không quá 2 nghiệm.
Dễ thấy t = 0 và t = 1 là 2 nghiệm của pt (1)
Với t = 0 ta có x = 0
Với t = 1, ta có $ x = - 1 \pm \sqrt 2 $

bạn giải thích cho mình sao phải xét đến đạo hàm bậc 2,mà khi $f''(x)>0$ thì kết luận PT ko có quá 2 nghiệm. Mình chưa hiểu lắm!

[E. Galois]

bạn giải thích cho mình sao phải xét đến đạo hàm bậc 2,mà khi $f''(x)>0$ thì kết luận PT ko có quá 2 nghiệm. Mình chưa hiểu lắm!

Giả sử f''(x) > 0 nhưng f(x) = 0 có 3 nghiệm a, b, c (a<b<c)
Khi đó, theo định lý Lagrang, tồn tại ít nhất một số d sao cho a < d < b và
f'(d) = 0
Tương tự, có e sao cho b < e < c và f'(e) = 0
Suy ra có m sao cho d < m < e sao cho f''(x) = 0. Mâu thuẫn với f''(x) > 0.
Vậy f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm.