Vẻ đẹp của toán học là gì?
Để trả lời câu hỏi này, tôi cần trả lời: toán học là gì? Khi đó tôi mới biết được tại sao nó đẹp, và nó đẹp như thế nào. Tôi sẽ không theo phương pháp của Plato hay Socrates để đưa ra ngay một định nghĩa cho toán học và vẻ đẹp của nó, mà sẽ theo phương pháp của Descartes, nghiền ngẫm và khám phá trong tòa lâu đài toán học tuyệt vời mà thiên nhiên (và chính bản thân con người) đã tạo ra để có thể cảm nhận nó tốt hơn, để rồi từ đó (hy vọng) biết được rằng nó đẹp như thế nào. Tôi xin được nêu ra một số cảm nhận về vẻ đẹp toán học dưới góc nhìn của một người mới chập chững bước những bước chân đầu tiên vào thế giới toán học.
1. Vẻ đẹp của toán học và vẻ đẹp của sự biểu diễn toán học:
Trước hết, ta cần phân biệt rõ, toán học và kí hiệu để biểu diễn toán học là hai đối tượng riêng biệt. Lấy một ví dụ, hầu như một người yêu toán nào cũng đều phải ngạc nhiên và trầm trồ trước sự đơn giản và vẻ đẹp của phương trình x^n+y^n=z^n trong giả thuyết (và bây giờ là định lý) Fermat. Nhưng nếu ngẫm nghĩ sâu hơn một chút, vì sao định lý Fermat lại đẹp, thì ta thấy sự đơn giản của phương trình chỉ là vẻ đẹp bên ngoài, nó được dùng để biểu thị một tính chất thú vị và gây ngạc nhiên về sự kết hợp của các số nguyên trong một phương trình. Ngón tay chỉ lên mặt trăng vẫn chỉ là ngón tay, cái đẹp vĩnh hằng sâu xa là ánh trăng huyền diệu và xa xăm kia. Các số nguyên như đang nhảy múa nhịp nhàng trong bản nhạc phương trình, và đấy mới chính là vẻ đẹp đích thực của định lý Fermat, được biểu diễn, hay được khoác lên bởi một tấm áo đẹp của các kí hiệu.
Tuy nhiên, nếu các kí hiệu không được chọn lựa kĩ càng, thì ta sẽ không thể nào biểu diễn được một cách chính xác vẻ đẹp của các đối tượng toán học, cũng như các bản màu xấu sẽ không cho phép một họa sĩ phản ánh được sắc thái của bức tranh trong đầu anh ta. Vì thế, các kí hiệu và toán học đều có vẻ đẹp riêng, và các vẻ đẹp này liên kết với nhau một cách hài hòa và chặt chẽ, ta sẽ thử khám phá chúng và mối liên kết của chúng.
Một điểm quan trọng cần lưu ý là toán học thú vị không chỉ vì vẻ đẹp của nó, mà còn vì sự bí ẩn và chông gai trên đường tìm kiếm vẻ đẹp ấy.
2. Vẻ đẹp của định nghĩa:
Trước hết, ta thấy rằng toán học được xây dựng từ những định nghĩa và tiên đề. Từ những viên gạch đầu tiên ấy, các nhà toán học mới xây nên những bổ đề, định lý, và rồi những lý thuyết mới. Toán học đẹp ngay từ những viên gạch đầu tiên ấy.
a. Đặc trưng tự thân và đặc trưng liên kết:
Đối với tôi, mỗi đối tượng toán học mang trong mình hai đặc trưng (đặc trưng là những tính chất riêng biệt để phân biệt chúng với những đối tượng toán học khác): tự thân và liên kết (trong tiếng Anh, tôi tạm gọi là intrinsic & extrinsic definitions).
Lấy một ví dụ trong lý thuyết nhóm và vành. Một nhóm con chuẩn tắc N của nhóm G là một nhóm con có tính chất gN=Ng với mọi g \in G. Một ideal I của vành R là một vành con của R sao cho r.i \in R với mọi r \in R và i \in I. Hai định nghĩa trên được coi là đặc trưng tự thân của nhóm con chuẩn tắc và ideal. Nhưng nếu ta nhìn một cách khác, một nhóm con chuẩn tắc N là một nhóm con của G sao cho tồn tại một homomorphism f từ nhóm G mà N=ker f; tương tự thế, một ideal I của vành R là một vành con sao cho tồn tại một homomorphism f từ vành R mà I=ker f. Hai định nghĩa sau được coi là đặc trưng liên kết của nhóm con chuẩn tắc và ideal. Chúng cho ta thấy hai khái niệm này liên hệ với nhau như thế nào, và còn có thể gợi mở một hướng mới để có thể tổng quát hóa mối liên hệ đó.
Tại sao đặc trưng tự thân và đặc trưng liên kết lại hay, thú vị và quan trọng trong toán học? Đặc trưng tự thân và đặc trưng liên kết là những định nghĩa tương đương của một đối tượng toán học (ta có thể dùng các đặc trưng của một đối tượng toán học để định nghĩa chúng một cách tương đương). Đặc trưng tự thân của một đối tượng toán học là công cụ cho phép ta khám phá và chứng minh những tính chất thú vị của nó; trong khi đó đặc trưng liên kết lại cho ta thấy vị trí và mối liên hệ của chúng đối với những đối tượng toán học khác. Đặc trưng tự thân cho ta thấy một đối tượng toán học khác biệt với những đối tượng toán học khác như thế nào về bản chất; trong khi đó đặc trưng liên kết cho ta thấy một đối tượng toán học được tạo ra như thế nào, hay là động lực khiến một nhà toán học định nghĩa chúng như thế, do đó còn có thể gợi mở một hướng mới. Đặc trưng tự thân như từng nốt nhạc hay từng bè nhạc, và đặc trưng liên kết như sự hài hòa của chúng trong một bản nhạc; các đối tượng toán học như từng bè, chúng đóng những vai trò quan trọng riêng biệt, nhưng khi chúng kết hợp với nhau, khi thì tương xứng, khi thì trái ngược, lại tạo nên những giai điệu tuyệt vời.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi madness: 03-08-2005 - 22:22