Chủ đề này có 4 trả lời

[nangluong1]

cho a,b,c la các số thực thỏa mãn a+b+c=3 TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$M=\sqrt{4^{a}+9^{b}+16^{c}}+\sqrt{9^{a}+16^{b}+4^{c}}+\sqrt{16^{a}+4^{b}+9^{c}}$

[haiphong08]

cho a,b,c la các số thực thỏa mãn a+b+c=3 TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$M=\sqrt{4^{a}+9^{b}+16^{c}}+\sqrt{9^{a}+16^{b}+4^{c}}+\sqrt{16^{a}+4^{b}+9^{c}}$

Mình thử xem nhé:

$\sqrt {2^{2a} + 3^{2b} + 4^{2c} } \ge {\textstyle{{(2^a + 3^b + 4^c )} \over {\sqrt 3 }}}$
tương tự như vây cho tp còn lại
$VT \ge {\textstyle{{(2^a + 2^b + 2^c + 3^a + 3^b + 3^c + 4^a + 4^b + 4^c )} \over {\sqrt 3 }}}$

$VT \ge (3\sqrt[3]{{2^{a + b + c} }} + 3\sqrt[3]{{3^{a + b + c} }} + 3\sqrt[3]{{4^{a + b + c} }})/\sqrt 3 \ge \sqrt 3 (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{4})$

Nếu đúng nhớ cảm ơn nhé. Hì hì...

[hoangduc]

Đẳng thức xảy ra khi nào

[alex_hoang]

cho a,b,c la các số thực thỏa mãn a+b+c=3 TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$M=\sqrt{4^{a}+9^{b}+16^{c}}+\sqrt{9^{a}+16^{b}+4^{c}}+\sqrt{16^{a}+4^{b}+9^{c}}$

mình làm thế này mà sao kết quả ra khác
theo BĐT Minkopski ta có
$\sqrt {{4^a} + {9^b} + {{16}^c}} + \sqrt {{4^b} + {9^c} + {{16}^a}} + \sqrt {{4^c} + {9^a} + {{16}^b}} \ge \sqrt {{{({2^a} + {2^b} + {2^c})}^2} + {{({3^a} + {3^b} + {3^c})}^2} + {{({4^a} + {4^b} + {4^c})}^2}} $
${2^a} + {2^b} + {2^c} \ge 3\sqrt[3]{{{2^{a + b + c}}}} = 6$
${3^a} + {3^b} + {3^c} \ge 3\sqrt[3]{{{3^{a + b + c}}}} = 9$
${4^a} + {4^b} + {4^c} \ge 3\sqrt[3]{{{4^{a + b + c}}}} = 12$
Từ đay ta có đpcm

[hoangduc]

Điều kiện để đẳng thức xảy ra đã làm 2 bài giải trên thành bài giải sai
Nhưng dựa vào nó ta lại tìm đc cách làm cho bài toán
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
$(4^a+9^b+16^c)(4+9+16) \ge (2^{a+1}+3^{b+1}+4^{c+1})^2 $
$ \Rightarrow \sqrt{4^a+9^b+16^c} \ge \dfrac{2^{a+1}+3^{b+1}+4^{c+1}}{\sqrt{29}} $
Tương tự ta có:
$ \Rightarrow \sqrt{4^b+9^c+16^a} \ge \dfrac{2^{b+1}+3^{c+1}+4^{a+1}}{\sqrt{29}} $
$ \Rightarrow \sqrt{4^c+9^a+16^b} \ge \dfrac{2^{c+1}+3^{a+1}+4^{b+1}}{\sqrt{29}} $
Cộng 3 BĐT trên theo vế ta được:
$ M \ge \dfrac{2^{a+1}+2^{b+1}+2^{c+1}+3^{a+1}+3^{b+1}+3^{c+1}+4^{a+1}+4^{b+1}+4^{c+1}}{\sqrt{29}}$
Áp dụng AM-GM ta có:
$ 2^{a+1}+2^{b+1}+2^{c+1} \ge 3\sqrt[3]{2^{a+b+c+3}}=12 $
$ 3^{a+1}+3^{b+1}+3^{c+1} \ge 3\sqrt[3]{3^{a+b+c+3}}=27 $
$ 4^{a+1}+4^{b+1}+4^{c+1} \ge 3\sqrt[3]{4^{a+b+c+3}}=48 $
Vậy $ M \ge \dfrac{87}{\sqrt{29}}=3\sqrt{29} $, đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c=1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangduc: 30-05-2011 - 22:14