mình xin góp thêm vài BDT hay, đẹp và khá khó:
1) Với a,b,c>0, cm
${\sum\limits_{a,b,c} {\left( {\dfrac{a}{{b + c}}} \right)} ^2} \ge \dfrac{3}{4}$
và ${\sum\limits_{a,b,c} {\left( {\dfrac{a}{{b + c}}} \right)} ^3} \ge \dfrac{3}{8}$
2) Cho x,y,z>0 và ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$ cm
$\dfrac{{x + y + z}}{{xy + yz + zx}} + \dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{yz}}{x} + \dfrac{{zx}}{y} \ge 2\sqrt 3 $
1/
${\sum\limits_{a,b,c} {\left( {\dfrac{a}{{b + c}}} \right)} ^2} \ge \dfrac{3}{4}$
đặt $\dfrac{a}{b}=x;\dfrac{b}{c}=y;\dfrac{c}{a}=z$. ta cần chứng minh.
$\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2}+\dfrac{1}{(1+z)^2} \geq \dfrac{3}{4}$ với xyz=1.
Trong 3 số $(x-1),(y-1),(z-1)$ luôn tồn tại hai số cùng dấu.Giả sử là $(x-1),(y-1)$ suy ra $(x-1)(y-1) \geq 0.$
trước tiên ta cm:
$\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \geq \dfrac{1}{1+xy}$
Áp dụng AM-GM ta có:
$\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2} \geq$ $\dfrac{2}{(1+x)(1+y)} \geq$ $\dfrac{1}{1+xy}$ (do $(x-1)(y-1) \geq 0.$)
việc còn lại là Cm: $\dfrac{1}{1+xy} + \dfrac{1}{(1+z)^2} \geq{3}{4}.$
tương đương với:
$\dfrac{z}{1+z} + \dfrac{1}{(1+z)^2} \dfrac{3}{4}.$
quy đồng lên là done!
còn câu :
${\sum\limits_{a,b,c} {\left( {\dfrac{a}{{b + c}}} \right)} ^3} \ge \dfrac{3}{8}$ (chỉ cần áp dụng cái câu trên ) - ĐÂY là câu VNTST 2005- năm anh Phạm Kim Hùng thi.
2/ Câu này không khó lắm.
$(\dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{yz}}{x} + \dfrac{{zx}}{y})^2 \ge$ $3(x^2+y^2+z^2) ((a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca))$
suy ra : $\dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{yz}}{x} + \dfrac{{zx}}{y} \geq \sqrt{3}.$
chỉ cần Cm: $\dfrac{{x + y + z}}{{xy + yz + zx}} \geq \sqrt{3}$
cái này không khó lắm.