Đến nội dung

Hình ảnh

Vẻ đẹp của phép chứng minh phản chứng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
mksa

mksa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
Như ta đã biết, phương pháp chứng minh bắng phản chứng là một phương pháp chứng minh độc đáo và phổ biến trong Toán học.Thậm chí, với nhiều bài toán nó trở nên duy nhất và hoàn mĩ.
Chẳng hạn, ta xét khẳng định sau:"không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2". Để chứng minh khẳng định này là đúng, ta giả sử rằng có số hữu tỉ mà bình phương bằng 2, rồi sau vài dòng suy luận, ta thu được một mâu thuẩn.Từ đó mà quả quyết rằng: không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2.
Suy luận này, theo Peter Hilton, là một suy luận phát hiện ra một điều hiểu biết vượt quá điều buộc ta tin vào kết luận; nó chứng tỏ cho ta vì sao mệnh đề đang xét là đúng.Lập luận này là khá đẹp và ngắn gọn - người ta không thể nghĩ được rằng còn có thể rút ngắn hơn được nữa. Nó cực kì tiết kiệm và không mang một điều gì thừa.
Tuy nhiên, theo Griss thì đó là một suy luận không thể chấp nhận được. Bởi theo ông, mọi khẳng định, chứng minh có liên quan đến chữ không đều là mơ hồ. Chẳng hạn với ví dụ trên, đã không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2 thì tại sao lại có quyền giả sử rằng nó có ?Từ một điều vớ vẩn suy ra một điều vớ vẩn rồi tung ra một định lí. Như vậy là không được!
Ta thấy đấy, để chứng minh một cái gì đó là không có (không tồn tại, không xảy ra), nếu dùng phương pháp chứng minh phản chứng, ta giả sử rằng nó có, rồi vòng vo tìm cách dẫn đến một mâu thuẩn.Từ đó mà kết luận điều ta giả sử là sai nên điều ngược lại của giả sử mới đúng! Cách lập luận này liệu có hợp lí không? Liệu ngày nay còn có những ý kiến trái ngược nhau kiểu Hilton - Griss nữa không?
Bạn nào có thông tin thêm thì viết tiếp!

#2
Hoàng Hà Hưng

Hoàng Hà Hưng

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Như ta đã biết, phương pháp chứng minh bắng phản chứng là một phương pháp chứng minh độc đáo và phổ biến trong Toán học.Thậm chí, với nhiều bài toán nó trở nên duy nhất và hoàn mĩ.
Chẳng hạn, ta xét khẳng định sau:"không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2". Để chứng minh khẳng định này là đúng, ta giả sử rằng có số hữu tỉ mà bình phương bằng 2, rồi sau vài dòng suy luận, ta thu được một mâu thuẩn.Từ đó mà quả quyết rằng: không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2.
Suy luận này, theo Peter Hilton, là một suy luận phát hiện ra một điều hiểu biết vượt quá điều buộc ta tin vào kết luận; nó chứng tỏ cho ta vì sao mệnh đề đang xét là đúng.Lập luận này là khá đẹp và ngắn gọn - người ta không thể nghĩ được rằng còn có thể rút ngắn hơn được nữa. Nó cực kì tiết kiệm và không mang một điều gì thừa.
Tuy nhiên, theo Griss thì đó là một suy luận không thể chấp nhận được. Bởi theo ông, mọi khẳng định, chứng minh có liên quan đến chữ không đều là mơ hồ. Chẳng hạn với ví dụ trên, đã không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2 thì tại sao lại có quyền giả sử rằng nó có ?Từ một điều vớ vẩn suy ra một điều vớ vẩn rồi tung ra một định lí. Như vậy là không được!
Ta thấy đấy, để chứng minh một cái gì đó là không có (không tồn tại, không xảy ra), nếu dùng phương pháp chứng minh phản chứng, ta giả sử rằng nó có, rồi vòng vo tìm cách dẫn đến một mâu thuẩn.Từ đó mà kết luận điều ta giả sử là sai nên điều ngược lại của giả sử mới đúng! Cách lập luận này liệu có hợp lí không? Liệu ngày nay còn có những ý kiến trái ngược nhau kiểu Hilton - Griss nữa không?
Bạn nào có thông tin thêm thì viết tiếp!

đọc 1 hồi mà chẳng hiểu gì cả :Rightarrow
cái này là Triết rồi chứ đâu còn là Toán;chịu phải hỏi bác Ngocson52 thôi!

#3
TieuSonTrangSi

TieuSonTrangSi

    Thiếu úy

  • Founder
  • 526 Bài viết
Tôi không phải là ngocson52 nhưng xin mạo muội phát biểu vài điều :

1) Phản chứng không phải chỉ dùng để chứng minh không tồn tại một cái gì đó. Ta cũng có thể dùng phản chứng để chứng minh tồn tại (lúc đó phải giả sử là không tồn tại rồi đi đến một mâu thuẫn) hoặc bất cứ một tính chất nào khác ngoài câu hỏi tồn tại/không tồn tại. Ví dụ :

- trong môn giải tích, làm sao chứng minh rằng tồn tại những hàm liên tục nhưng không khả vi tại bất kỳ điểm nào ? Thông thường thì người ta đưa ra một ví dụ cụ thể của một hàm như vậy. Đó là cách chứng minh "xây dựng" (constructive). Nhưng cũng có một cách chứng minh trừu tượng hơn, bằng "phản chứng" (by contradiction), dựa trên một định lý tôpô của Baire. Cách này khá dài, tôi sẽ không viết ra, nhưng chỉ cần biết là nó có...

- tương tự, cũng trong giải tích, làm sao chứng minh rằng tồn tại những hàm liên tục mà chuỗi Fourier phân kỳ ? Cũng bằng phản chứng, phối hợp với định lý tôpô của Baire.

- trong hình học, đại số, tổ hợp, phương pháp phản chứng cũng được sử dụng rất nhiều để chứng minh đẳng thức, bđt...

2) Tôi không biết Hilton-Griss là ai, nhưng về cơ sở lý thuyết logic của chứng minh phản chứng thì vào đầu thế kỷ 20 có nhiều nhà toán học đặt vấn đề. Một trong những nhà toán học đó là Jan Brouwer (1881-1966), người Hòa Lan, đứng đầu trường phái "trực giác" (intuitionism). Trường phái của ông chống lại chủ nghĩa hình thức (formalism) của Hilbert và chủ nghĩa logic (logicism) của Russell. Đặc biệt, Brouwer bài bác tất cả những cách chứng minh dựa trên nguyên tắc phản chứng (principle of the excluded middle). Theo ông, mọi chứng minh đều phải có tính cách "xây dựng".

Những nỗi quan tâm về triết lý toán học làm cho Brouwer mất ăn mất ngủ, thậm chí nghi vấn về giá trị của những thành quả (trong lĩnh vực tôpô) của mình. Ông không bao giờ dạy tôpô, chỉ dạy "cơ sở triết lý toán" theo cái nhìn của phái "trực giác".

Có một điều khá mỉa mai là Brouwer tìm ra một định lý về điểm cố định (fixed point theorem) rất quan trọng. Vào thế kỷ 21, trong sách vở giáo khoa về tôpô/giải tích, cách chứng minh ngắn gọn nhất của định lý Brouwer lại là cách... phản chứng !!
Chí lớn trong thiên hạ không đựng đầy đôi mắt của giai nhân

#4
mksa

mksa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Tôi không phải là ngocson52 nhưng xin mạo muội phát biểu vài điều :

1) Phản chứng không phải chỉ dùng để chứng minh không tồn tại một cái gì đó. Ta cũng có thể dùng phản chứng để chứng minh tồn tại (lúc đó phải giả sử là không tồn tại rồi đi đến một mâu thuẫn) hoặc bất cứ một tính chất nào khác ngoài câu hỏi tồn tại/không tồn tại. Ví dụ :

- trong môn giải tích, làm sao chứng minh rằng tồn tại những hàm liên tục nhưng không khả vi tại bất kỳ điểm nào ? Thông thường thì người ta đưa ra một ví dụ cụ thể của một hàm như vậy. Đó là cách chứng minh "xây dựng" (constructive). Nhưng cũng có một cách chứng minh trừu tượng hơn, bằng "phản chứng" (by contradiction), dựa trên một định lý tôpô của Baire. Cách này khá dài, tôi sẽ không viết ra, nhưng chỉ cần biết là nó có...

- tương tự, cũng trong giải tích, làm sao chứng minh rằng tồn tại những hàm liên tục mà chuỗi Fourier phân kỳ ? Cũng bằng phản chứng, phối hợp với định lý tôpô của Baire.

- trong hình học, đại số, tổ hợp, phương pháp phản chứng cũng được sử dụng rất nhiều để chứng minh đẳng thức, bđt...

2) Tôi không biết Hilton-Griss là ai, nhưng về cơ sở lý thuyết logic của chứng minh phản chứng thì vào đầu thế kỷ 20 có nhiều nhà toán học đặt vấn đề. Một trong những nhà toán học đó là Jan Brouwer (1881-1966), người Hòa Lan, đứng đầu trường phái "trực giác" (intuitionism). Trường phái của ông chống lại chủ nghĩa hình thức (formalism) của Hilbert và chủ nghĩa logic (logicism) của Russell. Đặc biệt, Brouwer bài bác tất cả những cách chứng minh dựa trên nguyên tắc phản chứng (principle of the excluded middle). Theo ông, mọi chứng minh đều phải có tính cách "xây dựng".

Những nỗi quan tâm về triết lý toán học làm cho Brouwer mất ăn mất ngủ, thậm chí nghi vấn về giá trị của những thành quả (trong lĩnh vực tôpô) của mình. Ông không bao giờ dạy tôpô, chỉ dạy "cơ sở triết lý toán" theo cái nhìn của phái "trực giác".

Có một điều khá mỉa mai là Brouwer tìm ra một định lý về điểm cố định (fixed point theorem) rất quan trọng. Vào thế kỷ 21, trong sách vở giáo khoa về tôpô/giải tích, cách chứng minh ngắn gọn nhất của định lý Brouwer lại là cách... phản chứng !!

Tri thức của TieuSonTrangSi thật sự uyên thâm.Có lẽ bác TieuSon đã học lên đến PhD rồi nhỉ?!
Thật ra bài viết trên mình trích ra từ tạp chí THTT (tuyển tập 30 năm)
Mình muốn nói (thông qua phép chm phản chứng):Một cái gì đó đã không có thì tại sao lại có quyền giả sử rằng nó có?( như Griss)Tại sao có thể như vậy?

#5
quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết
Van de la mksa gia su' sai. 1 van de duoc dat ra thi` nguoi` ta chua biet no dung' hay sai, nen moi' gia' su' no' la` dung' ( hoac gia' su' no' la` sai).

Một cái gì đó đã không có thì tại sao lại có quyền giả sử rằng nó có?

Neu ngay tu ban dau` cau biet la` cai' nay` khong co' thi` bai` toan' tro' nen tam thuong, khong can phai cm, neu ai ai cung biet la` no' khong co'. Tuy nhien neu ta khong biet la no' co' hay khong co' thi` ta co' the gia' su' bang phan' chung' la` no' khong co' hoac no' co'.

#6
mksa

mksa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Van de la mksa gia su' sai. 1 van de duoc dat ra thi` nguoi` ta chua biet no dung' hay sai, nen moi' gia' su' no' la` dung' ( hoac gia' su' no' la` sai).

Một cái gì đó đã không có thì tại sao lại có quyền giả sử rằng nó có?

Neu ngay tu ban dau` cau biet la` cai' nay` khong co' thi` bai` toan' tro' nen tam thuong, khong can phai cm, neu ai ai cung biet la` no' khong co'. Tuy nhien neu ta khong biet la no' co' hay khong co' thi` ta co' the gia' su' bang phan' chung' la` no' khong co' hoac no' co'.

Cảm ơn bác quantum nhiều.
Nhưng bác nên viết bằng tiếng Việt đi chứ?




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh