5. Xây dựng nghiệm Có nhiều bài toán không yêu cầu tìm tất cả các nghiệm của phương trình, mà chỉ yêu cầu chứng minh phương trình có vô số nghiệm. Trong trường hợp như thế, ta chỉ cần xây dựng một họ nghiệm chứa tham số là đủ. Việc xây dựng như thế có thể được thực hiện bằng các giả định, giới hạn miền nghiệm. Các siêu phẳng là những miền giới hạn thông dụng.
Ví dụ 5.1. (Italy 1996) Chứng minh rằng phương trình $a^2 + b^2 = c^2 + 3$ có vô số nghiệm nguyên $(a, b, c)$.
Lời giải: Chọn $c = b+1$ thì ta được phương trình $a^2 = 2b + 4, \ \ (*)$. Bây giờ chỉ cần chọn $a = 2k, b = 2(k^2-1)$ là ta được nghiệm của $(*)$ và như vậy phương trình ban đầu có họ nghiệm $a = 2k, b = 2(k2-1), c = 2k^2 – 1$.
Ví dụ 5.2. (Canada 1991) Chứng minh rằng phương trình $x^2 + y^3 = z^5$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải: Chú ý rằng $2^m + 2^m = 2^{m+1}$. Đặt $x = 2^{\frac{m}{2}}, y = 2^{\frac{m}{3}}, z = 2^{\frac{m+1}{5}}$, khi đó $x^2 + y^3 = z^5$. Ta chỉ cần tìm $m$ sao cho $\frac{m}{2}, \frac{m}{3}, \frac{m+1}{5}$ nguyên là xong. Đây là một bài toán bậc nhất đơn giản và ta có thể tìm được $ m = 6(5k+4)$.
Ví dụ 5.3. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 2$, phương trình $x^2 + y^2 = z^n$ luôn luôn có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải: Xét số phức $\alpha = a + bi$. Giả sử $\alpha ^n = x + yi$ thì ta có
\[\sqrt {{x^2} + {y^2}} = |{\alpha ^n}| = |\alpha {|^n} = {\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)^n}\]
Từ đó $x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n$.
Ví dụ 5.4. Chứng minh rằng $x^3 + y^3 + z^3 = 2$ có vô số nghiệm nguyên.
Lời giải. Đặt $x = 1 – a, y = 1 + a$ thay vào phương trình, ta được $6a^2 + z^3 = 0$
Từ đây, nếu chọn $a$ sao cho $-6a^2$ là một lập phương đúng thì ta sẽ được $(1-a; 1+a, (1 - a;1 + a;\sqrt[3]{{ - 6{a^2}}})$ là một nghiệm nguyên của phương trình. Rõ ràng có thể chọn $a = -6k^3$.
Vậy $(1-6k^3, 1+6k^3, -6k^2)$ với $k$ nguyên là một họ nghiệm của phương trình đã cho. Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên.
Ví dụ 5.5. Chứng minh rằng phương trình $x^4 + y^4 + z^4 = 2$ có vô số nghiệm hữu tỷ.
Lời giải. Ta tìm các nghiệm $(x, y, z)$ trong mặt phẳng $z = x + y$. Khi đó
$$x^4 + y^4 + z^4 = x^4 + y^4 + (x+y)^4 = 2(x^2+y^2+xy)^2$$
Từ đó, nếu ta chứng minh được phương trình $x^2 + xy + y^2 = 1$ có vô số nghiệm hữu tỷ thì bài toán được giải quyết. Về cách giải bài toán này, xem phương pháp cát tuyến trong phần 7.
Bài tập5.6. Dựa vào hằng đẳng thức
$$[2(3x+2y+1)+1]^2 – 2(4x+3y+2)^2 = (2x+1)^2 – 2y^2$$
chứng minh rằng phương trình $x^2 + (x+1)^2 = y^2$ có vô số nghiệm nguyên dương.
5.7. Dựa vào hẳng đẳng thức
$$[2(7y+12x+6)]^2 – 3[2(4y+7x+3)+1]^2 = (2y)^2 – 3(2x+1)^2$$
chứng minh rằng phương trình $(x+1)^3–x^3=y^2$ có vô số nghiệm nguyên dương.
5.8. Chứng minh rằng tồn tại vô số các cặp số hữu tỷ dương $(x, y)$ sao cho $x^3 + y^3 = 9$.
5.9.
(Bulgaria 1999) Chứng minh rằng phương trình $x^3 + y^3 + z^3 + t^3 = 1999$ có vô số nghiệm nguyên.
5.10. Chứng minh rằng với mọi $n \geq 2$, luôn tồn tại $n$ số nguyên dương có tổng bằng tích.
5.11.
(IMO 82) Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên dương sao cho phương trình $x^3 – 3xy^2 + y^3 = n$ có nghiệm nguyên $(x, y)$, thì phương trình này có ít nhất 3 nghiệm như vậy. Chứng minh rằng phương trình đã cho không có nghiệm khi $n = 2891$.
5.12. Chứng minh rằng phương trình $(x^2+x+1)(y^2+y+1) = z^2 + z + 1$ có vô số nghiệm nguyên.
5.13
. (THTT 4/187, dự tuyển IMO 92) Chứng minh rằng, với số nguyên dương m bất kỳ sẽ tồn tại vố số các cặp số nguyên $(x, y)$ sao cho:
1) $x$ và $y$ nguyên tố cùng nhau
2) $y$ chia hết $x^2 + m$;
3) $x$ chia hết $y^2 + m$.
5.14
. (Saint Peterburg 2003) Chứng rằng tồn tại các số nguyên dương $a > 1, b > 1, c > 1$ sao cho $a^2 – 1$ chia hết cho $b$, $b^2 – 1$ chia hết cho $c$ và $c^2 – 1$ chia hết cho $a$ và $a + b + c > 2003$.
5.15. Chứng minh rằng phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = xyz$ có vô số nghiệm nguyên dương.
6. Phương pháp số học Các tính chất của số nguyên liên quan đến số nguyên tố, ước số chung, bội số chung như Định lý cơ bản của số học, các định lý
Fermat,
Euler,
Wilson … đóng một vai trò quan trọng trong việc tìm kiếm lời giải của phương trình
Diophant. Chúng tôi nhắc lại một số định lý (không chứng minh) và đưa ra một số ví dụ áp dụng.
Định lý 6.1. (Bổ đề)1) Cho $n > 1$ là một số nguyên dương. Nếu $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn điều kiện $a.b = c^n$ và $(a, b) = 1$ thì $a = (a’)^n, b = (b’)^n$ với các số nguyên $a’, b’$ nào đó.
2) Nếu $a$ hữu tỷ, $a^n$ nguyên với $n$ nguyên dương nào đó thì $a$ nguyên.
3) Nếu $a$ nguyên $\sqrt[n]{a}$ hữu tỷ thì $\sqrt[n]{a}$ nguyên.
Định lý 6.2. (Định lý nhỏ Fermat) Nếu $p$ là số nguyên tố và $a$ là một số nguyên tùy ý thì $a^p – a$ chia hết cho $p$. Nếu $(a, p) = 1$ thì $a^p-1 \equiv 1 (\mod p)$.
Định lý 6.3. (Định lý Euler). Nếu $m$ là số nguyên dương, $(a, m) = 1$ thì $a^{\varphi (m)} \equiv 1
(\mod m)$, trong đó $\varphi $ là Phi-hàm
Euler – số các số nguyên dương nhỏ hơn $m$ nguyên tố cùng nhau với $m$.
Định lý 6.4. (Định lý Wilson). $p$ là số nguyên tố khi và chỉ khi $(p-1)! + 1$ chia hết cho $p$.
Định lý 6.5. (Định lý Fermat-Euler) Nếu $p = 4k+1$ thì tồn tại các số nguyên dương $a, b$ sao cho $p = a^2 + b^2$.
Định lý 6.6. (Một tính chất quan trọng) Cho p là số nguyên tố dạng $4k+3$ và $(a, b) = 1$. Khi đó $a^2+b^2$ không chia hết cho $p$.
Ví dụ 6.1: (Phương trình Pythagore) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $x^2 + y^2 = z^2$ trong tập hợp các số nguyên dương.
Giải bài toán này ta có kết quả sau mà ta phát biểu như một định lý:
Định lý 6.7. Mọi nghiệm nguyên dương của phương trình $x^2 + y^2 = z^2$ đều có thể viết dưới dạng $x = (m^2-n^2)k, y = 2mnk, z = (m^2+n^2)k$ hoặc $x = 2mnk, y = (m^2-n^2)k, z = (m^2+n^2)k$, trong đó các số nguyên $m, n, k$ thỏa mãn các điều kiện sau:
- $(m, n) = 1, (x, y) = k$
- các số $m, n$ khác tính chẵn lẻ
- $m > n > 0, k > 0$.
Chứng minh.Giả sử $(x, y) = k$, khi đó $x = ka, y = kb$ trong đó $(a, b) = 1$. Ta có
$$(ka)^2 + (kb)^2 = z^2 \Leftrightarrow a^2 + b^2 = {\left( {\frac{z}{k}} \right)^2}$$.
Đặt $z = kc, c \in \mathbb{Q}$, khi đó $a^2 + b^2 = c^2$. Do $c \in \mathbb{Q}, c^2 \in \mathbb{N}$, nên theo định lý 6.1, $c \in \mathbb{N}$ . Vì $(a, b) = 1$ nên ít nhất 1 trong hai số $a, b$ phải lẻ. Giả sử rằng $b$ lẻ, khi đó $a^2, b^2$ khi chia 4 dư 1, như thế $c^2$ chia 4 dư 2, điều này không thể vì $c^2$ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4. Vậy $b$ chẵn và như thế $c^2 = a^2 + b^2$ lẻ. Ta có
$${b^2} = (c - a)(c + a) \Leftrightarrow {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{c - a}}{2}.\frac{{c + 1}}{2}$$
Dễ dàng kiểm tra rằng $\frac{c-a}{2}, \frac{c+a}{2}$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau. Như thế, theo định lý 6.1, tồn tại các số nguyên dương $m, n$ sao cho $\frac{c-a}{2} = n^2, \frac{c+a}{2} = m^2$, từ đó $c = m^2 + n^2, a = m^2 – n^2;b = 2mn$, trong đó $(m, n) = 1$.
Ví dụ 6.2: (Lebesgue) Giải phương trình $x^2 – y^3 = 7$ trong tập hợp các số tự nhiên.
Lời giải: Nếu $y$ là số chẵn, tức là $y = 2k$ thì $x = 8k^3 + 7$ chia 8 dư 7 là điều không thể. Vậy $y$ lẻ. Ta có
$$x^2 + 1 = y^3 + 8 \Leftrightarrow x^2 + 1 = (y+2)(y^2 – 2y + 4)$$
Nếu $y$ chia 4 dư 1 thì $y+2$ có dạng $4k+3$. Nếu $y$ chia 4 dư 3 thì $y^2 – 2y + 4$ có dạng $4k+3$. Vì vậy, trong mọi trường hợp, vế trái đều có ước dạng $4k+3$ và do đó có ước nguyên tố dạng $4k+3$, điều này mâu thuẫn với định lý 6.6.
Ví dụ 6.3: (Euler) Chứng minh rằng phương trình $4xy – x – y = z^2$ không có nghiệm nguyên dương.
Hướng dẫn: Viết phương trình dưới dạng $(4x – 1)(4y – 1) = 4z^2 + 1$ và sử dụng định lý 6.6.
Ví dụ 6.4: a) Cho $x, y, z$ là các số nguyên thỏa mãn điều kiện $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$ nguyên. Chứng minh rằng $xyz$ là lập phương của một số nguyên.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}=3$.
Hướng dẫn: Viết phương trình dưới dạng $x^2z + y^2x + z^2y = kxyz$. Gọi $p$ là ước nguyên tố của $(x, y)$. Hãy chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $p^3$.
Bài tập6.5. Giải phương trình trong tập hợp các số nguyên dương
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{2003}}\]
6.6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^3 – 5y^2 = 13$.
6.7. Chứng minh rằng phương trình $x^3 + 3 = 4y(y+1)$ không có nghiệm nguyên.
6.8*. Chứng minh rằng phương trình $x^7 + y^7 = 1998^z$ không có nghiệm nguyên dương.
6.9*. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố, $n$ là số nguyên dương thì phương trình
$$x(x+1) = p^{2n}y(y+1)$$
không có nghiệm nguyên dương.
6.10*. Tìm tất cả nghiệm của phương trình
$$y^2 = x^3 +(x+4)^2$$
trong tập hợp các số nguyên.
6.11. Chứng minh rằng nếu $c$ là số nguyên dương lẻ thì phương trình
$$x^2 – y^3 = (2c)^3 – 1$$
không có nghiệm nguyên dương.
6.12.
(Euler) Chứng minh rằng phương trình
$$4xyz – x – y – t^2 = 0$
không có nghiệm nguyên dương.
6.13.
(Nga 1997) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố sao cho $p^3 – q^5 = (p+q)^2$.
6.14*.
(Legendre) Chứng minh rằng phương trình $ax^2 + by^2 = cz^2$ trong đó $a, b, c$ là các tham số không có ước chính phương, đôi một nguyên tố cùng nhau có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi hệ phương trình đồng dư sau có nghiệm $(\alpha, \beta, \gamma)$:
\[bc \equiv {\alpha ^2}(\mod a), ca \equiv {\beta ^2}(\mod b), ab \equiv - {\gamma ^2}(\mod c)\].
7. Phương pháp hình học Hình học có những ứng dụng rất bất ngờ trong việc giải các bài toán số học. Chúng ta chắc chắn còn nhớ bài toán của IMO 42 “Cho các số nguyên dương $a, b, c, d$ với $a > b > c > d > 0$. Giả sử $ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)$. Chứng minh rằng $ab + cd$ không phải là số nguyên tố” đã được giải hết sức ấn tượng bằng … định lý hàm số cosin và định lý Ptolémé. Dưới đây, ta sẽ xét hai ví dụ ứng dụng của hình học trong số học với hai phương pháp tiếp cận khác nhau.
Phương pháp thứ nhất được gọi là phương pháp cát tuyến, sử dụng ý tưởng của hình học giải tích vào việc nghiên cứu các điểm nguyên và điểm hữu tỷ trên đường cong. Chính hướng đi này đã dẫn đến khái niệm đường cong elliptic, một trong những viên gạch cơ bản đặt nền móng cho việc chứng minh định lý lớn
Fermat. Ở đây, chúng ta chỉ giới hạn ở một ví dụ nhỏ.
Ví dụ 7.1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên khác $(0, 0, 0)$ của phương trình
$$x^2 + 2y^2 = 3z^2, \ \ (1)$$
Lời giải: Chia hay vế của phương trình cho $z^2$, ta được phương trình
$${\left( {\frac{x}{z}} \right)^2} + 2{\left( {\frac{y}{z}} \right)^2} = 3$$
Đặt $u = \frac{x}{z}, v = \frac{y}{z}$, ta được phương trình
$$u^2 + 2v^2 = 3, \ \ (2)$$
trong đó $u, v$ hữu tỷ. Bài toán quy về việc tìm tất cả các nghiệm hữu tỷ của $(2)$
Ta cần tìm tất cả các điểm hữu tỷ nằm trên đường cong $(E): u^2 + 2v^2 = 3$. Chú ý rằng $(1, 1)$ là một điểm hữu tỷ của $(E)$. Nếu $(u_0, v_0)$ là một điểm hữu tỷ khác $(1, 1)$ thì đường thẳng qua $(1, 1)$ và $(u_0, v_0)$ sẽ có hệ số góc hữu tỷ. Mặt khác, nếu $y = k(x-1) + 1$ là đường thẳng qua $(1, 1)$ với hệ số góc $k$ hữu tỷ thì, áp dụng định lý Viet cho phương trình hoành độ giao điểm, giao điểm thứ hai của đường thẳng trên với $©$ cũng có tọa độ hữu tỷ. Tính toán trực tiếp ta có tọa độ của điểm này là
\[u = \frac{{2{k^2} - 4k - 1}}{{2{k^2} + 1}},\;v = \frac{{ - 2{k^2} - 2k + 1}}{{2{k^2} + 1}}\]
Từ đây ta cũng tìm được nghiệm tổng quát của $(1)$. Ví dụ với $k=-1$ ta được $u = \frac{5}{3}, v = \frac{1}{3}$ và ta có nghiệm $(5, 1, 3)$ của $(1)$.
Phương pháp thứ hai là phương pháp điểm nguyên, lưới nguyên. Rất nhiều định lý sâu sắc của số học được chứng minh bằng cách tính số điểm nguyên trong một miền. Chẳng hạn Luật thuận nghịch bình phương cho ký hiệu
Legendre đã được chứng minh như vậy. Dưới đây, chúng ta xét một ứng dụng khác của phương pháp lưới nguyên.
Ví dụ 7.2: Bổ đề Minkowsky và định lý MinkowskyĐịnh lý Minkowsky là một ví dụ rất thú vị về ứng dụng của hình học trong lý thuyết số. Chúng ta bắt đầu từ một kết quả rất đơn giản nhưng hữu ích
Bổ đề 7.1. Trên mặt phẳng cho hình $F$ có diện tích lớn hơn 1. Khi đó tồn tại hai điểm $A, B \in F$, sao cho véctơ $\overrightarrow {AB}$ có tọa độ nguyên.
Chứng minh: Lưới nguyên cắt hình $F$ thành các mẩu nhỏ. Chồng các mẩu này lên nhau, do tổng diện tích của các mẩu lớn hơn 1, nên có ít nhất 2 mẩu có điểm chung. Gọi $A, B$ là hai điểm nguyên thuỷ ứng với điểm chung này thì $A, B$ là hai điểm cần tìm.
Bổ đề 7.2. (Bổ đề Minkowsky) Trên mặt phẳng cho hình lồi $F$ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và có diện tích lớn hơn 4. Khi đó nó chứa một điểm nguyên khác gốc tọa độ.
Chứng minh: Xét phép vị tự tâm $O$, tỷ số $\frac{1}{2}$ , biến $F$ thành $G$. Do $G$ có diện tích lớn hơn 1 nên theo bổ đề 1, tồn tại hai điểm $A, B$ thuộc $G$ sao cho véc-tơ $\overrightarrow {AB}$ có toạ độ nguyên. Gọi $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$. Do hình $G$ đối xứng qua gốc toạ độ nên $A’$ thuộc $G$. Do $G$ lồi nên trung điểm $M$ của $A’B$ thuộc $G$. Gọi $N$ là điểm đối xứng của $O$ qua $M$ thì $N$ thuộc $F$ và $ON = AB$, suy ra $N$ là điểm nguyên khác $O$ (đpcm).
Định lý 7.3. (Định lý Minkowsky) Cho $a, b, c$ là các số nguyên, trong đó $a > 0; ac – b^2 = 1$. Khi đó phương trình
$$ax^2 + 2bxy + cy^2 = 1$$
có nghiệm nguyên.
Bài tập7.3. Tìm tất cả các cặp $(x, y)$ các số hữu tỷ dương sao cho $x^2 + 3y^2 = 1$
7.4. Chứng minh rằng một đường cong bậc hai bất kỳ hoặc không chứa điểm hữu tỷ nào, hoặc chứa vô số điểm hữu tỷ.
7.5. Hãy tìm ví dụ một đường cong bậc hai không chứa điểm hữu tỷ nào.
7.6*. Chứng minh rằng nếu $D$ là số nguyên không chính phương thì phương trình $x^2 – Dy^2 = 1$ luôn có nghiệm nguyên dương.
7.7. Cho $p, q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Bằng cách đếm các điểm nguyên, hãy chứng minh công thức
\[\left[ {\frac{q}{p}} \right] + \left[ {\frac{{2q}}{p}} \right] + ... + \left[ {\frac{{(p - 1)q}}{p}} \right] = \frac{{(p - 1)(q - 1)}}{2}\].
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ban Biên Tập: 06-05-2012 - 23:17