Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cùng chém bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 windkiss

windkiss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSP

Đã gửi 05-05-2011 - 15:10

Cho $x, y, z $ :D 1 thoả mãn $ xyz=1, CMR : $
${\left( {\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{y}{{y - 1}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{z}{{z - 1}}} \right)^2} \geqslant 1$


wallunint @ Đây là IMO năm 2008
Các bạn có thể xem bài viết của anh Nguyễn Đình thi trên bào Toán Tuối Thơ về bài tổng quát

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 07-05-2011 - 09:38

Cuoc song la` vo ti`nh
Hình đã gửi

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 05-05-2011 - 16:00

Cho $x, y, z $ :D 1 thoả mãn $ xyz=1, CMR : $
$ ( { \dfrac{x}{x-1}} )^{2}+ ( { \dfrac{y}{y-1} })^{2}+ ( { \dfrac{z}{z-1} } )^{2} $ :neq $ 1 $

Bài này có nhiều hướng giải. Một trong các hướng giải mà mình thích là:
$x = \dfrac{{a^2 }}{{bc}};y = \dfrac{{b^2 }}{{ac}};z = \dfrac{{c^2 }}{{ab}}\left( {a;b;c > 0} \right)$

$\left( {\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)^2 = \dfrac{{a^4 }}{{a^4 - 2a^2 bc + b^2 c^2 }}$

$ \Rightarrow LHS = \dfrac{{a^4 }}{{a^4 - 2a^2 bc + b^2 c^2 }} + \dfrac{{b^4 }}{{b^4 - 2b^2 ac + a^2 c^2 }} + \dfrac{{c^4 }}{{c^4 - 2c^2 ab + a^2 b^2 }}$

$ \geqslant \dfrac{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }}{{a^4 - 2a^2 bc + b^2 c^2 + b^4 - 2b^2 ac + a^2 c^2 + c^4 - 2c^2 ab + a^2 b^2 }}$

Ta chỉ cần chứng minh $\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 \geqslant a^4 - 2a^2 bc + b^2 c^2 + b^4 - 2b^2 ac + a^2 c^2 + c^4 - 2c^2 ab + a^2 b^2 $
Cái này thì tương đương là ra.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 05-05-2011 - 16:26

Bài này đặt $a = \dfrac{x}{x-1}, b = \dfrac{y}{y-1}, c= \dfrac{z}{z-1}.$

ta có: ngay đẳng thức:

$ (1-\dfrac{1}{a})(1-\dfrac{1}{b})(1-\dfrac{1}{c}) = \dfrac{1}{xyz} = 1 \\. \\ \Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1) = abc \Leftrightarrow a+b+c = ab+bc+ca +1$

Mặt khác, BDT cần chứng minh là:

$a^2+b^2+c^2 \ge 1 \Leftrightarrow (a+b+c )^2 \ge 2(ab+bc+ca) +1 \Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 2(a+b+c-1) + 1 \\ .\\ \Leftrightarrow (a+b+c - 1)62 \ge 0 \textup{ hien nhien dung } \to dpcm!$

p/s: bài này hình như trong báo TTT2 so 7? thì phải, hồi lớp 9 đã từng làm qua rồi :D :neq

rongden_167


#4 windkiss

windkiss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSP

Đã gửi 05-05-2011 - 20:08


$ (a+b+c)^2 \ge 2(a+b+c-1) + 1 \\ .\\ \Leftrightarrow (a+b+c - 1)62 \ge 0 \textup{ hien nhien dung } \to dpcm!$
Doan cuo'i h.vuong_pdl viet ro~ hon dc ko


Cuoc song la` vo ti`nh
Hình đã gửi

#5 đat

đat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Đã gửi 05-05-2011 - 22:59

đặt
$a = frac{x}{{x - 1}};b = \dfrac{y}{{y - 1}};c = \dfrac{c}{{c - 1}}
Rightarrow x = \dfrac{a}{{a - 1}};y = \dfrac{b}{{b - 1}};z = \dfrac{c}{{c - 1}}\
xyz = 1 Rightarrow \dfrac{{abc}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)}} = 1
Rightarrow abc = abc - ab - bc - ca + a + b + c - 1
Rightarrow 2a + 2b + 2c - 2ac - 2vc - 2ab + 2 = 0\left( 1 \right)$
lại có:
$
begin{array}{l}
\left( {a + b + c - 1} \right)^2 \ge 0
a^2 + b^2 + c^2 + 2a + 2b + 2c - 2ab - 2bc - 2ca + 1 \ge 0\left( 2 \right)
left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge 1
end{array}
Rightarrow dpcm
$

bài tớ không hiểu sao cứ có cái <br/> ấy,thông cảm nhé,ai biết chỉ giùm làm sao để không có cái <br> nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi đat: 06-05-2011 - 08:54


#6 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 06-05-2011 - 15:12

đặt
$a = frac{x}{{x - 1}};b = \dfrac{y}{{y - 1}};c = \dfrac{c}{{c - 1}}
\Rightarrow x = \dfrac{a}{{a - 1}};y = \dfrac{b}{{b - 1}};z = \dfrac{c}{{c - 1}}\
xyz = 1 Rightarrow \dfrac{{abc}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)}} = 1
\Rightarrow abc = abc - ab - bc - ca + a + b + c - 1
\Rightarrow 2a + 2b + 2c - 2ac - 2vc - 2ab + 2 = 0\left( 1 \right)$
lại có:
$\begin{array}{l}\left( {a + b + c - 1} \right)^2 \ge 0 \\ a^2 + b^2 + c^2 + 2a + 2b + 2c - 2ab - 2bc - 2ca + 1 \ge 0 \left( 2 \right) \\ \left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge 1
end{array} \\ \Rightarrow dpcm$

bài tớ không hiểu sao cứ có cái <br/> ấy,thông cảm nhé,ai biết chỉ giùm làm sao để không có cái <br> nữa


p/s: bạn gõ xuống dòng mà bỏ trong 1 thẻ latex thì nó mã hóa thành <br/> thôi
khắc phục: bỏ trong nhiều thẻ latex khác nhau khi xuống dòng hoặc dùng các dấu \\ để xuống dòn trong 1 thẻ!

@windkiss: chỗ đó nhầm tí, do lỗi đánh máy thôi, phải là:
$(a+b+c - 1)^2 \ge 0$ hiển nhiên đúng !

rongden_167


#7 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 06-05-2011 - 18:37

Cho $x, y, z $ :D 1 thoả mãn $ xyz=1, CMR : $
$ ( { \dfrac{x}{x-1}} )^{2}+ ( { \dfrac{y}{y-1} })^{2}+ ( { \dfrac{z}{z-1} } )^{2} $ :D $ 1 (1)$

Mình nhớ đây là bài thi toán quốc tế nhưng ko nhớ năm nào!
đặt :
$x=\dfrac{a}{b};y=\dfrac{b}{c};z=\dfrac{c}{a}$
$m=\dfrac{a+b}{a-b};n=\dfrac{b+c}{b-c};p=\dfrac{c+a}{c-a}$
khi đó:
$(1) \Leftrightarrow \sum\dfrac{a^2}{(a-b)^2} \geq 1 \Leftrightarrow 4 \sum\dfrac{a^2}{(a-b)^2} \geq 4 \Leftrightarrow \sum(\dfrac{2a}{a-b})^2 \geq 4 \Leftrightarrow (m+1)^2+(n+1)^2+(p+1)^2 \geq 4 \Leftrightarrow \summ^2+2(m+n+p) \geq 1(2)$
Vì $(m+1)(n+1)(p+1)=(m-1)(n-1)(p-1) \Leftrightarrow \summn=-1 \Rightarrow (2) \Leftrightarrow (m+n+p)^2+2(m+n+p) \geq -1 \Leftrightarrow (m+n+p+1)^2 \geq 0.DUNG$

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#8 wallunint

wallunint

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A2, THPT chuyên LQĐ, ĐN

Đã gửi 07-05-2011 - 17:47

Cho $x, y, z $ :D 1 thoả mãn $ xyz=1, CMR : $
${\left( {\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{y}{{y - 1}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{z}{{z - 1}}} \right)^2} \geqslant 1$
wallunint @ Đây là IMO năm 2008
Các bạn có thể xem bài viết của anh Nguyễn Đình thi trên bào Toán Tuối Thơ về bài tổng quát

Thực ra, bài này còn có 1 cách khác :D Các bạn thử góp ý nhá :leq
Đặt $x = \dfrac{{bc}}{{{a^2}}},y = \dfrac{{ca}}{{{b^2}}},z = \dfrac{{ab}}{{{c^2}}}$, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$\sum {\dfrac{{{a^4}}}{{{{({a^2} - bc)}^2}}}} \geqslant 1$
Đến đây, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và ta áp dụng bổ đề sau :
$\sum {{{\left( {{a^2} - bc} \right)}^2}} \leqslant \sum {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} $
Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh xong.

Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!


#9 Peter Pan

Peter Pan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bóng đá

Đã gửi 07-05-2011 - 20:14

thử bài tương tự
a,b,c dương và abc=1, chứng minh
$\sum\dfrac{a+3}{(a-1)^2} \geq \dfrac{47}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 28-07-2011 - 15:32

\





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh