Đến nội dung

Hình ảnh

Viết ptmp đi qua 1 điểm và thỏa mãn các điều kiện cực trị

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
squall901

squall901

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(9;1;1) cắt trục tọa độ tại A,B,C sao cho:
1/$V_{OABC}$=min
2/$OA^2$+$OB^2$+$OC^2$ min

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-05-2011 - 09:32


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(9;1;1) cắt trục tọa độ tại A,B,C sao cho:
1/$V_{OABC}$=min


Bài toán này rất hay.
a) Hiển nhiên A, B, C phải khác O. Giả sử

$A\left( {\dfrac{9}{a};0;0} \right),B\left( {0;\dfrac{1}{b};0} \right),C\left( {0;0;\dfrac{1}{c}} \right),(a,b,c \ne 0)$


Phương trình mp (ABC) là:

$\dfrac{{ax}}{9} + by + cz = 1$


Vi M(9;1;1) nằm trên (ABC) nên:

$ a + b + c = 1$


Thể tích của khối tứ diện OABC là:

$V = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AB.AC.BC = \dfrac{3}{{2|abc|}}$


Bài toán trở thành:
Tìm GTNN của

$V(a;b;c) = \dfrac{3}{{2|abc|}}$

Với a + b + c = 1.

Ta sẽ chứng minh rằng V không có giá trị bé nhất. Thật vậy, giả sử V(m;n;p) là bé nhất.
Nếu $0 < m \le n \le p < 1$ thì với bộ (-p;m;n+2p) ta có:

- p + m + n + 2p = m + n + p = 1



|(-p)m(p+n)| = p.m.(p + n) > |mnp|


Do đó:

$V(-p;m;n+2p) = \dfrac{3}{{|(-p)m(p+n)|}}< \dfrac{3}{{2|mnp|}} = V(m;n;p)$


Do đó V không đạt GTNN tại 1 bộ 3 số dương.

Trong trường hợp có ít nhất 1 trong các số a, b, c âm cũng thế. Thật vậy, Giả sử V đạt GTNN tại (m; n; p). Không giảm tổng quát ta giả sử $ m \le n \le p$. Khi đó m < 0 < p.

Xét bộ (-1 + m;n;p + 1), ta có:

- 1 + m + n + p + 1 = m + n + p = 1


Mặt khác:

|(-1+m)n(p+1)| = (1 + |m|)|n|(|p| + 1) > |mnp|


Do đó:

$V(m-1;n;p+1) = \dfrac{3}{{2|(-1+m)n(p+1)|}}< \dfrac{3}{{|mnp|}} = V(m;n;p)$


Điều này mâu thuẫn với giả thiết V(m;n;p) là nhỏ nhất. Vậy V(a;b;c) không có GTNN khi có có ít nhất 1 số trong bộ (a;b;c) là số âm.

Kết luận: V không có GTNN. Bài toán vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 22-05-2011 - 23:24

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
b) Hiển nhiên A, B, C phải khác O. Giả sử

$A\left( {\dfrac{9}{a};0;0} \right),B\left( {0;\dfrac{1}{b};0} \right),C\left( {0;0;\dfrac{1}{c}} \right),(a,b,c \ne 0)$


Phương trình mp (ABC) là:

$\dfrac{{ax}}{9} + by + cz = 1$


Vi M(9;1;1) nằm trên (ABC) nên:

$ a + b + c = 1$


$S = OA^2 + OB^2 + OC^2 = \dfrac{{81}}{{a^2 }} + \dfrac{1}{{b^2 }} + \dfrac{1}{{c^2 }}$


Bài toán trở thành:
Tìm GTNN của

$S = \dfrac{{81}}{{a^2 }} + \dfrac{1}{{b^2 }} + \dfrac{1}{{c^2 }}$

Với a + b + c = 1.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4
S.Dave

S.Dave

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
Thank nhiều, lời giải rất rõ ràng
_____________________
anti stress
Cartier Ballon Bleu Automatic replica watch




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh