Chủ đề này có 5 trả lời

[kuma]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc$
CMR $\dfrac{ab}{c(1+ab)}+\dfrac{bc}{a(1+bc)}+\dfrac{ca}{b(1+ca)} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

mọi người giúp với ạ

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc$
CMR $\dfrac{ab}{c(1+ab)}+\dfrac{bc}{a(1+bc)}+\dfrac{ca}{b(1+ca)} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

mọi người giúp với ạ

hm, bài này theo mình nghĩ thì đặt a=tanA, b=tanB, c=tanC với A,B,C là 3 góc của một tam giác nhọn bất kì
nhưng mình vẫn đang bí, sẽ suy nghĩ tiếp sau

[truclamyentu]

Ta có:
VT=$\sum {\dfrac{{ab}}{{c(ab + 1)}}} = \sum {\dfrac{1}{{c(\dfrac{1}{{ab}} + 1)}}} $
Đặt :
$\dfrac{1}{a} = x;\dfrac{1}{b} = y;\dfrac{1}{c} = z \Rightarrow xy + yz + zx = 1(*)\\\\ \Rightarrow x + y + z \ge \sqrt {3(xy + yz + zx)} = \sqrt 3 \\\\ \Rightarrow \sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} \le \sqrt {3(xy + yz + zx)} = \sqrt 3 $
Khi đó :
$ VT=\sum {\dfrac{x}{{yz + 1}}} = \sum {\dfrac{{x(yz + 1) - xyz}}{{yz + 1}}} = \sum {x + y + z - \sum {\dfrac{{xyz}}{{yz + yz + xy + xz}}} } \\\\\ge \sqrt 3 - \sum {\dfrac{{xyz}}{{4\sqrt[4]{{{y^3}{z^3}{x^2}}}}}} = \sqrt 3 - \dfrac{1}{4}\sum {\sqrt[4]{{{\rm{yz}}{{\rm{x}}^2}}}} = \sqrt 3 - \dfrac{1}{4}\sum {\sqrt[4]{{\sqrt {xy} .\sqrt {xy} .\sqrt {zx} .\sqrt {zx} }}} \\\\\ge \sqrt 3 - \dfrac{1}{{16}}\sum {(2\sqrt {xy} } + 2\sqrt {xz} )\\= \sqrt 3 - \dfrac{1}{4}\sum {\sqrt {xy} } \\\\\ge \sqrt 3 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=c=\sqrt 3 $


Ở TRÊN TÔI CHỈ DÙNG AM-GM VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ ĐƠN GIẢN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 08-05-2011 - 21:18

[zxcvb]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc$
CMR $\dfrac{ab}{c(1+ab)}+\dfrac{bc}{a(1+bc)}+\dfrac{ca}{b(1+ca)} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

mọi người giúp với ạ

1 cách ngắn gọn là đặt $\dfrac{1}{a}=x..$.thì $xy+yz+zx=1 $
$VT=\sum{\dfrac{z}{xy+1}} \geq \dfrac{3(x+y+z)}{4} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ (Theo Chebyshev)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-05-2011 - 18:35
Latex

[dark templar]

Ta có:
VT=$\sum {\dfrac{{ab}}{{c(ab + 1)}}} = \sum {\dfrac{1}{{c(\dfrac{1}{{ab}} + 1)}}} $
Đặt :
$\dfrac{1}{a} = x;\dfrac{1}{b} = y;\dfrac{1}{c} = z \Rightarrow xy + yz + zx = 1(*)\\\\ \Rightarrow x + y + z \ge \sqrt {3(xy + yz + zx)} = \sqrt 3 \\\\ \Rightarrow \sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} \le \sqrt {3(xy + yz + zx)} = \sqrt 3 $
Khi đó :
$ VT=\sum {\dfrac{x}{{yz + 1}}} = \sum {\dfrac{{x(yz + 1) - xyz}}{{yz + 1}}} = \sum {x + y + z - \sum {\dfrac{{xyz}}{{yz + yz + xy + xz}}} } \\\\\ge \sqrt 3 - \sum {\dfrac{{xyz}}{{4\sqrt[4]{{{y^3}{z^3}{x^2}}}}}} = \sqrt 3 - \dfrac{1}{4}\sum {\sqrt[4]{{{\rm{yz}}{{\rm{x}}^2}}}} = \sqrt 3 - \dfrac{1}{4}\sum {\sqrt[4]{{\sqrt {xy} .\sqrt {xy} .\sqrt {zx} .\sqrt {zx} }}} \\\\\ge \sqrt 3 - \dfrac{1}{{16}}\sum {(2\sqrt {xy} } + 2\sqrt {xz} )\\= \sqrt 3 - \dfrac{1}{4}\sum {\sqrt {xy} } \\\\\ge \sqrt 3 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=c=\sqrt 3 $

1 cách ngắn gọn là đặt $\dfrac{1}{a}=x..$.thì $xy+yz+zx=1 $
$VT=\sum{\dfrac{z}{xy+1}} \geq \dfrac{3(x+y+z)}{4} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ (Theo Chebyshev)

Các bạn nên đọc kỹ topic là yêu cầu lời giải bằng BĐT Cauch-Schwarzt

[kuma]

Dùng kết hợp cả AM-GM cũng được, nhưng chỉ gói gọn trong 2 bất đẳng thức ấy thôi ạ.