Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$. CMR
$\dfrac{1}{{a^2 - bc + 1}} + \dfrac{1}{{b^2 - ac + 1}} + \dfrac{1}{{c^2 - ab + 1}} \le 3$
1 bài BĐT 3 biến dương
Bắt đầu bởi z0zLongBongz0z, 08-05-2011 - 16:35
#1
Đã gửi 08-05-2011 - 16:35
#2
Đã gửi 08-05-2011 - 19:02
Sử dụng phép biến đổi tương đương,ta có:BĐT tương đương với:Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$. CMR
$\dfrac{1}{{a^2 - bc + 1}} + \dfrac{1}{{b^2 - ac + 1}} + \dfrac{1}{{c^2 - ab + 1}} \le 3$
$\dfrac{a}{a^2-bc+1}+\dfrac{b}{b^2-ca+1}+\dfrac{c}{c^2-ab+1} \ge \dfrac{1}{a+b+c}$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarzt,ta có:
$VT \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a(a^2-bc+1)}=\dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a^3 -3abc+\sum a}$
$=\dfrac{a+b+c}{\sum a^2 -\sum ab +1}=\dfrac{1}{a+b+c}=VP(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh