Đến nội dung

Hình ảnh

1 bài BĐT 3 biến dương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
z0zLongBongz0z

z0zLongBongz0z

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$. CMR
$\dfrac{1}{{a^2 - bc + 1}} + \dfrac{1}{{b^2 - ac + 1}} + \dfrac{1}{{c^2 - ab + 1}} \le 3$

#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$. CMR
$\dfrac{1}{{a^2 - bc + 1}} + \dfrac{1}{{b^2 - ac + 1}} + \dfrac{1}{{c^2 - ab + 1}} \le 3$

Sử dụng phép biến đổi tương đương,ta có:BĐT tương đương với:
$\dfrac{a}{a^2-bc+1}+\dfrac{b}{b^2-ca+1}+\dfrac{c}{c^2-ab+1} \ge \dfrac{1}{a+b+c}$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarzt,ta có:
$VT \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a(a^2-bc+1)}=\dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a^3 -3abc+\sum a}$
$=\dfrac{a+b+c}{\sum a^2 -\sum ab +1}=\dfrac{1}{a+b+c}=VP(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh