Chủ đề này có 5 trả lời

[Bác Ba Phi]

Câu I (2 điểm): Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}$ $(C ) $. CMR: $\forall m \neq 0$, đường thẳng $mx+3m$ luôn cắt đồ thị $ (C )$ tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 giao điểm có hoành độ nhỏ hơn $-2$.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: $\tan x-\sin x+\sqrt{2}=\sqrt{3} (\cos x-1)+\dfrac{\sqrt{2}}{\cos x}$

2) Giải phương trình trong tập R: $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\dfrac{1}{2}(2x-1)^2$
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: $I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin 2x}{4\sin x+3-\cos 2x}dx$
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, $BC=a$ và $AC=2a$.
Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và có độ dài bằng $a \sqrt{3}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $BS$.
Tính thể tích khối tứ diện $HABC$ theo $a$.
Câu V (1 điểm): Tìm $a$ để bất phương trình sau có nghiệm:
$x^3-3x^2+1 \leq a(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})^3 $
_________________________________
PHẦN RIÊNG
Câu VIA (1 điểm): Chứng minh đẳng thức sau ($n$ là số nguyên dương, $C^k_{n}$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử):
$\dfrac{2^n C^0_{n}}{n+1}+\dfrac{2^{n-1}C^1_n}{n}+...+\dfrac{2^1C^{n-1}_{n}}{2}+\dfrac{2^0C^{n}_{n}}{1}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2n+2}$
Câu VIIA (2 điểm):
1) Trong hệ trục Oxy, cho 2 đường thẳng $(d_{1}): x+y-2=0)$ và $(d_{2}): 2x-y+3=0$. Tìm tọa độ điểm $M \in d_{1}$ và $N \in d_{2}$ sao cho $\vec{OM}$ + $2\vec{ON}$= $\vec{0}$
2) Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng: $(d_{1}):\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-3}{1}$ và $(d_{2}):\begin{cases}5x-6y-6z+13=0\\x-6y+6z-7=0\end{cases}$. Chứng minh rằng $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau. Gọi $I$ là giao điểm giữa 2 đường thẳng, tìm tọa độ các điểm $A \in d_{1}$, $B \in d_{2}$ sao cho $\Delta IAB$ cân tại $I$ và có diện tích bằng $\dfrac{\sqrt{41}}{42}$

_________________________________
Câu VIB (1 điểm): Giải phương trình: $2^{2x^2-4x-2}-16.2^{2x-x^2-1}-2 \leq 0 $
Câu VIIB (2 điểm):
1) Trong hệ trục Oxy, cho Elíp $(E): \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$. Viết PT chính tắc của đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $I(2;1)$
và cắt $(E)$ tại 2 điểm $M$,$N$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn $MN$.
2) 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $(d):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+2}{3}$ và các mặt phẳng:
$(P):2x+y-2z+3=0$, $(Q):2x-2y+z+1=0$. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên $(d)$ và tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.



**************

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bác Ba Phi: 09-05-2011 - 21:25

[Lê Xuân Trường Giang]

Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: $\tan x-\sin x+\sqrt{2}=\sqrt{3} (\cos x-1)+\dfrac{\sqrt{2}}{\cos x}$

$\begin{array}{l}\tan x - \sin x + \sqrt 2 = \sqrt 3 \left( {\cos x - 1} \right) + \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\cos x}}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\tan x + \sqrt 2 \left( {\dfrac{{\cos x - 1}}{{\cos x}}} \right) + \sqrt 3 \left( {1 - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {\tan x + \sqrt 3 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\cos x}}} \right) = 0\end{array}$
.....................

Câu I (2 điểm): Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}$ $(C ) $. CMR: $\forall m \neq 0$, đường thẳng $mx+3m$ luôn cắt đồ thị $ (C )$ tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 giao điểm có hoành độ nhỏ hơn $-2$.

Số giao của $C$ và đường thẳng $y=mx+3m$ là số nghiệm của pt sau $\dfrac{x+2}{x+1}=mx+3m\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x^2} + \left( {4m - 1} \right)x + 4m - 2 = 0\\\Delta = 16{m^2} - 8m + 1 - 16{m^2} + 8m = 1\end{array}$
Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt hay $C$ luôn cắt đt $y=mx+3m$ tại 2 điểm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - 2m}}{m}\\{x_2} = - 2m\end{array} \right.$
......

[Lê Xuân Trường Giang]

2) Giải phương trình trong tập R: $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\dfrac{1}{2}(2x-1)^2$
**************

$ \Leftrightarrow 4 + \sqrt { - 4{x^2} + 4x + 3} = \dfrac{1}{4}{\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)^2}$
Đặt
$\begin{array}{l}\sqrt { - 4{x^2} + 4x + 3} = a\left( {a \ge 0} \right)\\ \Rightarrow 4 + a = \dfrac{1}{4}{\left( { - {a^2} + 4} \right)^2} \Leftrightarrow {a^4} - 8{a^2} - 4a = 0\end{array}$
Xong nhỉ !

_________________________________
PHẦN RIÊNG
Câu VIA (1 điểm): Chứng minh đẳng thức sau ($n$ là số nguyên dương, $C^k_{n}$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử):
$\dfrac{2^n C^0_{n}}{n+1}+\dfrac{2^{n-1}C^1_n}{n}+...+\dfrac{2^1C^{n-1}_{n}}{2}+\dfrac{2^0C^{n}_{n}}{1}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2n+2}$

**************

ta có ${\left( {x + 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + .. + C_n^{n - 1}x + C_n^n$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^n} = } \dfrac{1}{2}C_n^0\int\limits_0^2 {{x^n}dx} + \dfrac{1}{2}C_n^1\int\limits_0^2 {{x^{n - 1}}dx} + .... + \dfrac{1}{2}C_n^{n - 1}\int\limits_0^2 {xdx} + \dfrac{1}{2}C_n^n\int\limits_0^2 {dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left[ {C_n^0\dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C_n^1\dfrac{{{x^n}}}{n} + ... + C_n^{n - 1}\dfrac{{{x^2}}}{2} + C_n^nx} \right]_0^2 = \dfrac{{{2^n}C_n^0}}{{n + 1}} + \dfrac{{{2^{n - 1}}C_n^1}}{n} + ... +\dfrac{{{2^1}C_n^{n - 1}}}{2} + \dfrac{{{2^0}C_n^n}}{1}\end{array}(VT)$
Mặt khác
$\dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^n} = } \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]_0^2 = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 1}}} \right] = \dfrac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{2\left( {n + 1} \right)}}\left( {VP} \right)$
Xong rồi hem !

Câu VIB (1 điểm): Giải phương trình: $2^{2x^2-4x-2}-16.2^{2x-x^2-1}-2 \leq 0 $
2) 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $(d):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+2}{3}$ và các mặt phẳng:
$(P):2x+y-2z+3=0$, $(Q):2x-2y+z+1=0$. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên $(d)$ và tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
**************

1. đưa pt về dạng: ${2^{2\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)}} - \dfrac{4}{{{2^{{x^2} - 2x - 1}}}} - 2 \le 0$
Đặt
$a = {2^{{x^2} - 2x - 1}}\left( {a > 0} \right)$
ta có
$\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} - \dfrac{4}{a} - 2 \le 0 \Leftrightarrow {a^3} - 2a - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow a \le 2 \Rightarrow {2^{{x^2} - 2x - 1}} \le 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 \le 1\end{array}$
Xong !
2. Gọi $I\left( {1 + t;2 - t; - 2 + 3t} \right)$
Vì mặt cầu tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$
ta có $\begin{array}{l}{d_{I \to \left( P \right)}} = {d_{I \to \left( Q \right)}}\\ \Leftrightarrow \left| {2\left( {1 + t} \right) + 2 - t - 2\left( {3t - 2} \right) + 3} \right| = \left| {2\left( {1 + t} \right) - 2\left( {2 - t} \right) + 3t - 2 + 1} \right|\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left| { - 5t + 8} \right| = \left| {7t - 3} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = ...\\t = ...\end{array} \right.$
Thay $t$ vào tìm được tọa độ $I$ thì viết được pt mặt cầu.

[Want?]

Câu 3:
đặt $sinx=t$ nên $dt=cosxdx$ khi đó $I=\int_{0}^{{1}}\dfrac{2tdt}{2\left\(t+1\right.)^2}$ $I=\int_{0}^{1}{\dfrac{dt}{2t+2}}+\int_{0}^{1}\dfrac{dt}{2(t+1)^2}$ đến đây coi như xog

[h.vuong_pdl]

Bài 4: ( Xem hình):

Kẻ KH AB thì HK // SA, như vậy HK mp(ABC)

Tính: theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$HK = HB.\dfrac{SA}{SB} = \dfrac{AB^2}{SB}.\dfrac{SA}{SB} = ???$

giờ thì xong rồi đó!

Hình gửi kèm

• 

[h.vuong_pdl]

Bài VIa: Ngoài cách giải bằng tích phân, bài này có thể dùng kiến thức thuần tổ hợp như sau:

Biến đổi tương đương, ta công nhận đẳng thức sau:

$\dfrac{1}{k+1}.C^k_n = \dfrac{1}{n+1}.C^{k+1}_{n+1}
$
Như vậy đẳng thức VT trở thành:

$VT = \dfrac{1}{n+1}.\left(2^n.C^1_{n+1} + 2^{n-1}.C^2_{n+1}+......+2^0.C^1_{n+1}\right).$

Biểu thức trong ngoặc tính theo khai triển $( x+1)^{n+1}$ , ta thu được ngay kết quả cần chứng !