Chủ đề này có 44 trả lời

[Zaraki]

Chào mọi người,
Ai cũng biết số học là một vấn đề khá quen thuộc đối với mỗi học sinh. Trong các kì thi quốc gia, quốc tế thì các bài toán số học được coi là khó, thậm chí còn rất khó. Và với mục đích để các bạn giải quyết các bài toán số học đó một cách nhanh gọn, mình đã lập nên topic này, một topic giới thiệu về các bài số học.

Xin lưu ý rằng, trong topic này, mỗi đè toán và lời giải cho nó đều phải đánh số thứ tự (để phân biệt bài toán này ứng với lời giải nào). Mở đầu, mình xin giới thiệu bài toán sau đây:

Problem 1: Four integers are maked on a circle. On each step we simultaneoualy replace each numbers by the difference between this number and next number on the circle in a given direction (that is, the numbers a,b,c,d are replaced by $a - b, b - c, c - d, d - a$). Is it possible after 1996 such that steps to have numbers a,b,c,d such that the numbers $|bc - ad|, |ac - bd|, |ab - cd|$ are primes ?

Nếu bạn nhìn kĩ chủ đề của bài toán, thì bạn sẽ thấy rõ, Marathon trong tiếng Anh là một công việc đòi hỏi nhiều cố gắng, kiên trì. Mình cũng hi vọng topic này chứa nhiều bài toán hay và thú vị.

Xin cảm ơn

Hi vọng topic sẽ đầy ắp các bài toán số học khó được giải đáp một cách nhanh gọn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 20-05-2011 - 18:27

[Pirates]

IMO Shortlist 1996 N1

[Zaraki]

Problem 2: Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên dương a và b sao cho với mọi số nguyên tố p,q khác nhau và đều lớn hơn 1000, thì số ap+bq là số nguyên tố

[Pirates]

Russia 1996 - E33 (PEN)

P/s: Bài trước là E9, bài này là E33... Cứ như này thì topic đổi thành Solutions of PEN hay hơn (mà bên ML cũng đã xơi hết rồi còn đâu)....

[Zaraki]

Công nhận bạn hay vô Mathlinks.ro thiệt!
Problem 3: Tìm mọi số nguyên dương n sao cho n < t_n trong đó
t_n là số các ước nguyên dương của n²

[Pirates]

Công nhận bạn hay vô Mathlinks.ro thiệt!
Problem 3: Tìm mọi số nguyên dương n sao cho n < t_n trong đó
t_n là số các ước nguyên dương của n²

Bài này đã từng đăng trên THTT, chính xác là bài T6/279. Không khó, đáp số là: 2, 4, 6, 12.

P/s: ML hay thế mà không vô thì phí, với lại mấy bài này mình làm rồi thì nhớ thôi, .

[Zaraki]

Nhớ đến phát kinh, thôi thì nhờ bạn ghi luôn lời giải của Problem 3 vậy!

[Pirates]

Nhớ đến phát kinh, thôi thì nhờ bạn ghi luôn lời giải của Problem 3 vậy!

Chẳng có gì kinh hết bạn à, ai làm Toán lại chẳng có cái khả năng đó, bài nào làm rồi thì sự tự khắc nhớ thôi. Problem 3 là T6/279, lời giải có thể xem trong cuốn "Các bài toán chọn lọc 45 năm Tại chí THTT"...

[Zaraki]

Problem 4: Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên lẻ sao cho
$ 0 < a < b < c < d $ và $ ad = bc $.
Chứng minh rằng nếu $a + d$ và $b + c$ là các lũy thừa của 2 thì $a = 1$

[Pirates]

Problem 4: Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên lẻ sao cho
$ 0 < a < b < c < d $ và $ ad = bc $.
Chứng minh rằng nếu $a + d$ và $b + c$ là các lũy thừa của 2 thì $a = 1$

Problem 6 - IMO 1984

P/s: thôi mình không phá nữa, để cho các bạn làm, hì hì...

[Zaraki]

Problem 5: Cho $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...$ là các dãy tăng số nguyên không âm sao cho mỗi số nguyên không âm có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng $a_{i} + 2a_{j} + 4a_{k}$ trong đó
$i, j, k$ là các số nguyê phân biệt. Hãy xác định $a_{1998}$.
Chú ý: Topic này sẽ mời bạn Pirates làm người hướng dẫn, gợi ý cho những ai chưa tìm ra lời giải.

[Zaraki]

Có vẻ vẫn chưa có ai giải được bài này! Anh Pirates, anh gợi ý dùm đi!

[Zaraki]

Nếu mọi người cảm thấy rắc rối thì mình xin gác tạm Problem 5 qua một bên, thay vào đó là bài toán mới.
Problem 6: Kí hiệu $S\left ( n \right )$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $S\left ( n \right )=n^{2}-2009n+11$. (cái này mình tìm ra $n$ = 2009 nhưng chưa biết cách giải)
Problem 7: Cho dãy số $\left ( u_{n} \right )$ xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}u_{1}=-1;u_{2}=-2 & & \\ n.u_{n+2}-\left ( 3n+1 \right )u_{n+1}+2\left ( n+1 \right)u_{n}=3\left ( n\in \mathbb{N} \right ) & & \end{matrix}\right.$
Đặt $S=\sum_{n=1}^{2009}u_{n}-2\left ( 2^{2009}-1 \right )$. Chứng minh rằng $S$ chia hết cho $2009$.
P/s: Mọi người cũng phải post Problem lên đây chứ!
(Nhờ anh Pirates giải hộ mấy bài này và Problem 5. Cảm ơn anh)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 22-05-2011 - 13:40

[Zaraki]

Mình xin giải Problem 7

Ta có $n.u_{n+2}-\left ( 3n+1 \right )u_{n+1}+2\left ( n+1 \right )u_{n}=3\Rightarrow n\left ( u_{n+2}-2.u_{n+1}-\left ( n+1 \right )+3 \right )=\left ( n+1 \right )\left ( u_{n+1}-2u_{n}-n+3 \right ).$
Do đó $u_{n+2}-2u_{n+1}-\left ( n+1 \right )+3=\dfrac{n+1}{n}.\left ( u_{n+1}-2u_{n}-n+3 \right )=\dfrac{n+1}{n}.\dfrac{n}{n-1}.\left ( u_{n}-2u_{n-1}-\left ( n-1 \right )+3 \right )=...=\dfrac{n+1}{n}.\dfrac{n}{n-1}...\dfrac{2}{1}.\left ( u_{2}-2u_{1}-1+3 \right )=2\left ( n+1 \right )$.
Suy ra $u_{n+2}+3\left ( n+2 \right )=2u_{n+1}=3n\left ( n\in \mathbb{N}^{*} \right )\Rightarrowu_{n+2}+3\left ( n+2 \right )=2\left ( u_{n+1}+3\left ( n+1 \right ) \right )=2^{2}\left ( u_{n}+3n \right )=..=2^{n}.\left (u_{2}+6 \right )=2^{n+2.}$.
Bởi vậy $u_{n}=2^{n}-3n$ đúng với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.
Từ đó $\sum_{n=1}^{2009}u_{n}-2\left ( 2^{2009}-1 \right )=\sum_{n=1}^{2009}\left ( 2^{n}-3n \right )-2\left ( 2^{2009}-1 \right )=\sum_{n=1}^{2009}2^{n}-3\sum_{n=1}^{2009}n-2\left ( 2^{2009}-1 \right )=\left ( 2^{2010}-2 \right )-3.2009.1005-2\left ( 2^{2009}-1 \right )=-3.2009.1005\vdots 2009\left ( dpcm \right )$.

Các bạn mau giải các problem khác đi, hay post bài mới cũng được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 22-05-2011 - 14:36

[dark templar]

Problem 8:
Gọi $x_1;x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-6x+1=0$.Chứng minh rằng:$\forall n \in N:x_1^{n}+x_2^{n} \not |5$


supermember : Hình như phúc ghõ sai đề thì phải ; có lẽ phải là : $ 5 \not | x^n _1 + x^n _2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 22-05-2011 - 21:40

[supermember]

Problem 8:
Gọi $x_1;x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-6x+1=0$.Chứng minh rằng:$\forall n \in N:x_1^{n}+x_2^{n} \not |5$
supermember : Hình như phúc ghõ sai đề thì phải ; có lẽ phải là : $ 5 \not | x^n _1 + x^n _2$

Đây là chứng minh cho đề mới :

$ S_n = x^n _1 + x^n _2 = ( 3 - \sqrt{5})^n + ( 3 + \sqrt{5})^n$

Chuyện chứng minh $S_n$ là số nguyên là không khó ; có thể dựa vào tính chẵn lẻ của $n$ trong khai triển nhị thức hoặc bằng quy nạp ; do $ S_{n+2} - 6 S_{n+1} + S_n = 0$

Dễ thấy $ 5 \equiv 5^2 \ \ ( \mod 5 )$

Nên bằng khai triển nhị thức Newton ; ta dễ thấy :

$ ( 3 - \sqrt{5})^n + ( 3 + \sqrt{5})^n \equiv ( 3+ 5)^n + ( 3-5)^n = 8^n + (-2)^n = (-2)^n ( (-4)^n + 1) \equiv (-2)^n ( (1)^n +1 ) = 2 . (-2)^n \not \equiv 0 \ \ ( \mod 5)$

( Do $ -4 \equiv 1 \ \ ( \mod 5) \implies (-4)^n \equiv (-1)^n \ \ ( \mod 5) $

Từ đây suy thẳng ra điều phải chứng minh

Lưu ý : Kĩ thuật trên có thể dùng để giải bài dãy số nguyên trong đề VMO 2011

[Zaraki]

Mọi người cũng có thể xem lời giải trong trang:
http://www.artofprob...v...56&t=407879

[Pirates]

Problem 5: Cho $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...$ là các dãy tăng số nguyên không âm sao cho mỗi số nguyên không âm có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng $a_{i} + 2a_{j} + 4a_{k}$ trong đó
$i, j, k$ là các số nguyê phân biệt. Hãy xác định $a_{1998}$.

Có vẻ vẫn chưa có ai giải được bài này! Anh Pirates, anh gợi ý dùm đi!

Đây, IMO Shortlist 1998 N8.

[Zaraki]

Mọi người cố giải Problem 6 nha! Rồi ta sang problem mới!

Problem 9: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $p^2-p+1$ là lập phương của một số nguyên.
Problem 10: Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c$ sao cho $2^a = 5^b + 7^c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 23-05-2011 - 08:46

[Peter Pan]

Problem 6: Kí hiệu $S\left ( n \right )$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $S\left ( n \right )=n^{2}-2009n+11$. (cái này mình tìm ra $n$ = 2009 nhưng chưa biết cách giải)

ta có $0 \leq S(n) \leq n$ từ đây suy ra:$n^2-2010n+11 \leq 0$ và $n^2-2009n+11\geq 0$ chặn giá trị đúng tại điểm $x=2009$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 22-05-2011 - 23:05