Chủ đề này có 44 trả lời

[Zaraki]

Nếu mọi người cảm thấy rắc rối thì mình xin gác tạm Problem 5 qua một bên, thay vào đó là bài toán mới.
Problem 6: Kí hiệu $S\left ( n \right )$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $S\left ( n \right )=n^{2}-2009n+11$. (cái này mình tìm ra $n$ = 2009 nhưng chưa biết cách giải)

Cách khác, mọi người xem ở đây: http://www.artofprob...w=show#p2278456

[Zaraki]

Thôi thì nếu vẫn chưa có ai giải thì ta đến với bài mới vậy!
Problem 11: Tìm điều kiện của $a,b,c$ để $ax^{19} + bx^{94} + cx^{1994}$ chia hết cho $1+x+x^2$
(Anh Pirates giúp giùm mấy Problem 9 và Problem 10 với)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-05-2011 - 07:52

[Zaraki]

Mọi người cố giải Problem 6 nha! Rồi ta sang problem mới!

Problem 9: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $p^2-p+1$ là lập phương của một số nguyên.
Problem 10: Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c$ sao cho $2^a = 5^b + 7^c$

Mình vừa tìm được lời giải của Problem 9:, hóa ra là đề thi Balkan 2005, mọi người có thể xem nhiều cách giải khác nhau ở đây: http://www.artofprob...v...mp;t=35935
Mọi người giải hết các bài còn lại rồi hẵng đưa bài mới nha!

[Pirates]

Anh Pirates tưởng là mai danh ẩn tích rồi chứ cái bài problem 3 là số hoàn hảo thì phải, nó có dạng $ 2^{n-1}(2^n-1) $ với $ 2^n-1 $ là số nguyên tố.

Thấy VMF có chút ánh sáng nên anh có hứng thú một chút, . Em cũng đã vào đây rồi thì giải mấy bài mới cho em nó xem đi kìa....

[Zaraki]

Mọi người cố giải Problem 6 nha! Rồi ta sang problem mới!

Problem 9: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $p^2-p+1$ là lập phương của một số nguyên.
Problem 10: Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c$ sao cho $2^a = 5^b + 7^c$

Đáp án $a=5,b=2$ và $c=1$ cho Problem 10:, nhưng vẫn chưa tìm ra lời giải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 29-05-2011 - 14:32

[Zaraki]

Problem 12: Chứng minh rằng số $3^n+2$ không có ước nguyên tố dạng $24k+13$ (18.4)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 29-05-2011 - 16:29

[thangthan]

Problem 12: Chứng minh rằng số $3^n+2$ không có ước nguyên tố dạng $24k+13$ (18.4)

giả sử $3^n+2$ có 1 ước nguyên tố p dạng $24k+13$.khi đó sử dụng kí hiệu legendre ta có $(-1/p)=1,(2/p)=-1,(3/p)=1.$
Nếu n chẵn thì (-2/p)=1.Nhưng (-2/p)=(-1/p).(2/p)=-1,vô lý
Nếu n lẻ thì (-6/p)=1.Nhưng (-6/p)=(-2/p).(3/p)=-1,vô lý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 07-06-2011 - 11:37

[Zaraki]

Problem 12: Chứng minh rằng số $3^n+2$ không có ước nguyên tố dạng $24k+13$ (18.4)

Bài này anh cũng có thể xem lời giải ở đây:
http://www.artofprob...v...87&t=290844
Problem 13: CMR $2^{b}-1|2^{ab}-1$ với mọi số nguyên dương $a,b$.

[assign]

Bài này anh cũng có thể xem lời giải ở đây:
http://www.artofprob...v...87&t=290844
Problem 13: CMR $2^{b}-1|2^{ab}-1$ với mọi số nguyên dương $a,b$.

Bài dành cho lớp 6 à bạn

Ta có $2^{b}-1|(2^{a})^b-1^b=2^{ab}-1$

[Zaraki]

Problem 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:
$2x^{2}-6y^{2}+z^{2}-3xyz-xy-yz=10$
Bài này mình đưa lên Mathlink mà vẫn chưa có lời giải.

Problem 15: tìm mọi số nguyên tố $p,q$ sao cho $pq|2^{p}+2^{q}+1$

Nếu mọi người vẫn chưa có lời giải cho 2 bài trên thì Number theory Marathon vẫn phải tiếp tục!
Problem 16 Tồn tại hay không giá trị $n$ tự nhiên để các số $2^{n+1}-1$ và $2^{n-1}(2^n-1)$ đồng thời là lập phương của các số nguyên.

Problem 17 Giải phương trình nghiệm nguyên

$2x^4+1=y^2$

[isaac_newtons]

Problem 17 Giải phương trình nghiệm nguyên

$2x^4+1=y^2$

cho em giải bằng cách này được không ? cho em ý kiến nhé!!
vì x,y là nghiệm nguyên nên ta có: x=ky ( y thuộc Z , k thuộc R)
thay vào PT ta có:
$ 2k^4y^4+1=y^2 \Leftrightarrow y^2(1-2k^4y^2)=1 \Leftrightarrow y= \dfrac{1}{ \sqrt{1-2k^4y^2} } $
vì y thuộc Z nên $ \dfrac{1}{ \sqrt{1-2k^4y^2} } $ cũng thuộc Z
từ đó ta sẽ có $ \sqrt{1-2k^4y^2} =1 \Leftrightarrow k=0 hay y=0 $
trường hợp 1 : thay k=0 thì x=0 thay vào pt ta có $ y= \pm 1 $ vậy ta có nghiệm (0;1);(0;-1)
trường hợp 2: thay y=0 vạo pt thì $ x= \pm \dfrac{1}{2} $(loại) (dpcm)
P/s : em mong sự đánh giá của anh Lâm , Toàn .....

[tuan101293]

cho em giải bằng cách này được không ? cho em ý kiến nhé!!
vì x,y là nghiệm nguyên nên ta có: x=ky ( y thuộc Z , k thuộc R)
thay vào PT ta có:
$ 2k^4y^4+1=y^2 \Leftrightarrow y^2(1-2k^4y^2)=1 \Leftrightarrow y= \dfrac{1}{ \sqrt{1-2k^4y^2} } $
vì y thuộc Z nên $ \dfrac{1}{ \sqrt{1-2k^4y^2} } $ cũng thuộc Z
từ đó ta sẽ có $ \sqrt{1-2k^4y^2} =1 \Leftrightarrow k=0 hay y=0 $

chú giải sai chỗ này : vì y thuộc Z nên cái căn kia có dạng 1/n chứ ko fai là 1
***
bài này thì xài xuống thang thôi
China TST 1993
http://www.artofprob...dc926aa#p269097

[isaac_newtons]

chú giải sai chỗ này : vì y thuộc Z nên cái căn kia có dạng 1/n chứ ko fai là 1
***
bài này thì xài xuống thang thôi
China TST 1993
http://www.artofprob...dc926aa#p269097

anh hiểu nhầm ý em rùi vì y thuộc Z nên $ \sqrt{1-4k^4y^2}$ là ước của 1 (ước của 1 gồm 1 và -1(loại)) từ đó em mới giải đây là cách giải của em nên em cũng sợ sai lắm (bài này trích ở đâu zậy mấy anh để em xem đáp án)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi isaac_newtons: 21-08-2011 - 11:21

[tuan101293]

anh hiểu nhầm ý em rùi vì y thuộc Z nên $ \sqrt{1-4k^4y^2}$ là ước của 1 (ước của 1 gồm 1 và -1(loại)) từ đó em mới giải đây là cách giải của em nên em cũng sợ sai lắm (bài này trích ở đâu zậy mấy anh để em xem đáp án)

ô hay,
$\sqrt{1-4k^4y^2}$ có nguyên đâu, chỉ hữu tỉ thôi nên nó fai có dạng 1/n

[Zaraki]

Problem 17. Tìm các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn
$$bd>ad+bc$$
$$(9ac+bd)(ad+bc)=(ad)^2+10abcd+b^2+c^2$$

Problem 18. Chứng minh rằng dãy $\{u_i\}_{i=1}^{\infty}$ không tuần hoàn, ở đây [tex]u_n[/tex] là chữ số đầu của $2^n+3^n$ trong biểu diễn thập phân.

[Nguyen Dzung]

Problem 16 Tồn tại hay không giá trị $n$ tự nhiên để các số $2^{n+1}-1$ và $2^{n-1}(2^n-1)$ đồng thời là lập phương của các số nguyên.
[/font][/size]

Nếu $n=0$ thì $2^{n+1}-1=1$ và $2^{n-1}(2^n-1)=0$ đều là lập phương của các số nguyên

Nếu $n \ge 1$
Vì $(2^{n-1},2^n-1)=1$ nên $2^{n-1}$ va $2^n-1$ là lập phương của các số nguyên
Do $2^{n+1}-1$ va $2^n-1$ là lập phương của các số nguyên nên:
$2^{n+1}-1=a^3, 2^n-1=b^3$ ($a,b$ là số tự nhiên lẻ, $a>b$)
$\Rightarrow a^3-b^3=2^n$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=2^n$
Vì $a,b$ lẻ nên $a^2+ab+b^2$ lẻ
Suy ra $a-b=2^n, a^2+ab+b^2=1$
$\Rightarrow a=1, b=0, n=0$ (loại vì $n \ge 1$)

Do đó tồn tại $n$ thoả mãn yêu cầu đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dzung: 16-10-2011 - 12:57

[anh qua]

problem 19: giải phương trình nghiệm nguyên dương:
a)x^{z+1}-y^{z+1}=2^{100}
b)$\dfrac{x^{29}-1}{x-1}=y^{12}-1$
c)$\dfrac{x^{7}-1}{x-1}=y^5-1$
d)$\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}=y^5-1$
problem 20: Cho $1<q \leq p$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $(a-b)^2 \vdots (pab-q)$. Cm a=b.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 17-10-2011 - 01:24

[Yagami Raito]

Problem 20
1) Cho $$B=x^{2}-8x-2011$$ .Tìm $x$ là số thực để $B$ đạt giá trị bé nhất.
2) Giải phương trình nghiệm nguyên
$$(x+1999)(x+1975)=3^{y}-81$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 25-10-2011 - 22:49

[Zaraki]

Có cái bài này khá hay

Problem 21. Tìm mọi số nguyên tố $x,y$ thỏa mãn
$$x^y-y^x=xy^2-19$$

[hxthanh]

Có cái bài này khá hay

Problem 21. Tìm mọi số nguyên tố $x,y$ thỏa mãn
$x^y-y^x=xy^2-19$

Giải thử thôi nhé! (tôi không chắc chắn lắm)

Theo định lý nhỏ Fermat ta có: (vì $x=y$ không phải là nghiệm nên $x\neq y$)

$x^y\equiv x \pmod{y}\Rightarrow xy^2+y^x-19=x^y\equiv x \equiv -19 \pmod{y}\Rightarrow x=ky-19,\;\; (k>0)\;(1)$

Tương tự $y^x=x^y-xy^2+19 \equiv y \equiv 19 \pmod{x}\Rightarrow y=mx+19 (2)$

Đến đây:

Nếu: $x=2$ thì $(1)\Rightarrow ky=21=3.7=7.3=1.21=21.1$

Thử trực tiếp ta có $y=3$ hoặc $y=7$ đều là nghiệm

Nếu: $y=2$ thì $(2)\Rightarrow mx=-17=-1.17=-17.1$

Thử trực tiếp $x=17$ thấy không thoả.

Nếu: $x$ và $y$ đều lẻ thì $(1)\;\;\&\;\;(2)$ suy ra $k,m$ đều chẵn và:

$y=\dfrac{19m}{km-1};\;\;\;x=\dfrac{19(k-1)}{1-km}\;\;(3)$

Trong $(3)$ ta có $(km-1)\;|\;19\Rightarrow km \in \{-18,0,2,20\}$ Cả 4 trường hợp này đều dẫn ra mâu thuẫn.

Vậy đáp án của bài này là: $(x,y) \in \{(2,3);\;(2,7)\}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 26-10-2011 - 17:18