Đến nội dung

Hình ảnh

Phương trình đối xứng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hiep ga

hiep ga

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 428 Bài viết
Chứng minh rằng Nếu PT $x^4 +ax^3+bx^2+ax+1=0$ có nghiệm thì $a^2+b^2 \geq \dfrac{4}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-05-2011 - 21:13
Gõ phân số là \frac{ }

Poof


#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Chứng minh rằng Nếu PT $x^4 +ax^3+bx^2+ax+1=0$ có nghiệm thì $a^2+b^2 \geq \dfrac{4}{5}$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x} \Rightarrow |t| \ge 2$.Pt trở thành:$t^2+at+b-2=0$
Gọi $t_0$ là 1 nghiệm của pt.Suy ra $t_0^2+at_0+b-2=0 \Leftrightarrow at_0+b=2-t^2$
Theo BĐT Cauchy-Schwarzt,ta có:$(2-t_0^2)^2=(at_0+b)^2 \le (t_0^2+1)(a^2+b^2)$
$ \Rightarrow a^2+b^2 \ge \dfrac{(2-t_0^2)^2}{t_0^2+1}$
Việc còn lại là chứng minh $\dfrac{(2-t_0^2)^2}{t_0^2+1} \ge \dfrac{4}{5}$.Đây chỉ là điều đơn giản,có thể giải quyết bằng khảo sát hàm số $f(t)=\dfrac{(2-t^2)^2}{t^2+1}$ với $|t| \ge 2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-05-2011 - 21:13

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh