Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

BĐT 3 biến hoán vị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yscope

yscope

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 18-05-2011 - 13:12

cho a,b,c la các số thực dương thỏa a+b+c=3. Cmr:
$\dfrac{{{a^2}b}}{{2a + b}} + \dfrac{{{b^2}c}}{{2b + c}} + \dfrac{{{c^2}a}}{{2c + a}} \le \dfrac{3}{2}$

#2 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 18-05-2011 - 15:38

Một cách "giấu đề " khá hay + thú vị nhờ phương pháp biến đổi của "cô-si ngược dấu":

Ta biến đổi ngược lại: chú ý:

$\dfrac{a^2b}{2a+b} = a^2 - \dfrac{2a^3}{2a+b}$


Như vậy BDT cần chứng minh trở thành :

$\sum{\dfrac{2a^3}{2a+b} } + 1 \ge a^2+b^2+c^2 $

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta lại có:

$\sum{\dfrac{2a^3}{2a+b}} = 2.\sum{\dfrac{a^4}{2a^2+ab}} \ge 2.\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca}$

Như vậy:

Ta sẽ chứng minh BDT mạnh hơn :

$\dfrac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca} + 1 \ge a^2+b^2+c^2 \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{18.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca} + 2(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca) \ge 12(a^2+b^2+c^2)$

hiển nhiên đúng theo BDT Cô-si.

p/s: đây là một BDT trung bình khá hay, đẹp về biến đổi.

@@@@ theo chứng minh trên, mình đã sửa đề thành chứng minh BDT mạnh hơn ( có lẽ là đúng đề hơn! )

$\dfrac{a^2b}{2a+b}+\dfrac{b^2c}{2b+c}+\dfrac{c^2a}{2c+a}\le 1$

$%7b%5ccolor%7bblue%7d%5cfrac%7ba%5e2b%7d%7b2a+b%7d+%5cfrac%7bb%5e2c%7d%7b2b+c%7d+%5cfrac%7bc%5e2a%7d%7b2c+a%7d%5cle 1$

rongden_167


#3 yscope

yscope

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 18-05-2011 - 16:13

Một cách "giấu đề " khá hay + thú vị nhờ phương pháp biến đổi của "cô-si ngược dấu":

Ta biến đổi ngược lại: chú ý:

$\dfrac{a^2b}{2a+b} = a^2 - \dfrac{2a^3}{2a+b}$
Như vậy BDT cần chứng minh trở thành :

$\sum{\dfrac{2a^3}{2a+b} } + 1 \ge a^2+b^2+c^2 $

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta lại có:

$\sum{\dfrac{2a^3}{2a+b}} = 2.\sum{\dfrac{a^4}{2a^2+ab}} \ge 2.\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca}$

Như vậy:

Ta sẽ chứng minh BDT mạnh hơn :

$\dfrac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca} + 1 \ge a^2+b^2+c^2 \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{18.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca} + 2(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca) \ge 12(a^2+b^2+c^2)$

hiển nhiên đúng theo BDT Cô-si.

p/s: đây là một BDT trung bình khá hay, đẹp về biến đổi.

@@@@ theo chứng minh trên, mình đã sửa đề thành chứng minh BDT mạnh hơn ( có lẽ là đúng đề hơn! )

$\dfrac{a^2b}{2a+b}+\dfrac{b^2c}{2b+c}+\dfrac{c^2a}{2c+a}\le 1$

$%7b%5ccolor%7bblue%7d%5cfrac%7ba%5e2b%7d%7b2a+b%7d+%5cfrac%7bb%5e2c%7d%7b2b+c%7d+%5cfrac%7bc%5e2a%7d%7b2c+a%7d%5cle 1$


Thanks bạn nhiều. Nhưng bạn có thể cho mình biết ý tưởng để bạn có lời giải được không




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh