Chủ đề này có 2 trả lời

[yscope]

cho a,b,c la các số thực dương thỏa a+b+c=3. Cmr:
$\dfrac{{{a^2}b}}{{2a + b}} + \dfrac{{{b^2}c}}{{2b + c}} + \dfrac{{{c^2}a}}{{2c + a}} \le \dfrac{3}{2}$

[h.vuong_pdl]

Một cách "giấu đề " khá hay + thú vị nhờ phương pháp biến đổi của "cô-si ngược dấu":

Ta biến đổi ngược lại: chú ý:

$\dfrac{a^2b}{2a+b} = a^2 - \dfrac{2a^3}{2a+b}$


Như vậy BDT cần chứng minh trở thành :

$\sum{\dfrac{2a^3}{2a+b} } + 1 \ge a^2+b^2+c^2 $

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta lại có:

$\sum{\dfrac{2a^3}{2a+b}} = 2.\sum{\dfrac{a^4}{2a^2+ab}} \ge 2.\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca}$

Như vậy:

Ta sẽ chứng minh BDT mạnh hơn :

$\dfrac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca} + 1 \ge a^2+b^2+c^2 \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{18.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca} + 2(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca) \ge 12(a^2+b^2+c^2)$

hiển nhiên đúng theo BDT Cô-si.

p/s: đây là một BDT trung bình khá hay, đẹp về biến đổi.

@@@@ theo chứng minh trên, mình đã sửa đề thành chứng minh BDT mạnh hơn ( có lẽ là đúng đề hơn! )

$\dfrac{a^2b}{2a+b}+\dfrac{b^2c}{2b+c}+\dfrac{c^2a}{2c+a}\le 1$

$%7b%5ccolor%7bblue%7d%5cfrac%7ba%5e2b%7d%7b2a+b%7d+%5cfrac%7bb%5e2c%7d%7b2b+c%7d+%5cfrac%7bc%5e2a%7d%7b2c+a%7d%5cle 1$

[yscope]

Một cách "giấu đề " khá hay + thú vị nhờ phương pháp biến đổi của "cô-si ngược dấu":

Ta biến đổi ngược lại: chú ý:

$\dfrac{a^2b}{2a+b} = a^2 - \dfrac{2a^3}{2a+b}$
Như vậy BDT cần chứng minh trở thành :

$\sum{\dfrac{2a^3}{2a+b} } + 1 \ge a^2+b^2+c^2 $

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta lại có:

$\sum{\dfrac{2a^3}{2a+b}} = 2.\sum{\dfrac{a^4}{2a^2+ab}} \ge 2.\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca}$

Như vậy:

Ta sẽ chứng minh BDT mạnh hơn :

$\dfrac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca} + 1 \ge a^2+b^2+c^2 \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{18.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca} + 2(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca) \ge 12(a^2+b^2+c^2)$

hiển nhiên đúng theo BDT Cô-si.

p/s: đây là một BDT trung bình khá hay, đẹp về biến đổi.

@@@@ theo chứng minh trên, mình đã sửa đề thành chứng minh BDT mạnh hơn ( có lẽ là đúng đề hơn! )

$\dfrac{a^2b}{2a+b}+\dfrac{b^2c}{2b+c}+\dfrac{c^2a}{2c+a}\le 1$

$%7b%5ccolor%7bblue%7d%5cfrac%7ba%5e2b%7d%7b2a+b%7d+%5cfrac%7bb%5e2c%7d%7b2b+c%7d+%5cfrac%7bc%5e2a%7d%7b2c+a%7d%5cle 1$

Thanks bạn nhiều. Nhưng bạn có thể cho mình biết ý tưởng để bạn có lời giải được không