OK ;
bài 34 nhé :
Phương trình đã cho tương đương với :
$x+\left ( y-2 \right )+\sqrt{2x\left ( y-2 \right )+2x+m}=0$
Nên đề toán thực chất là đi tìm tham số $m$ để phương trình :
$x+y+\sqrt{2xy+2x+m}=0 \ \ (*)$ có nghiệm
Mà dùng các biến đổi đại số cơ bản ; ta thấy $(*)$ tương đương hệ :
$\left\{\begin{matrix} x+y \le 0 & \\ & (x+y)^2 = 2xy+2x+m \end{matrix}\right.$
$\iff\left\{\begin{matrix}
\left ( x-1 \right )^2+y^2=m+1 & \\\left ( x-1 \right )+y\le -1
&
\end{matrix}\right..$
Tiếp tục sử dụng phép đặt ẩn ; ta thấy ; ta chỉ cần tìm tham số $m$ để hệ :
$\left\{\begin{matrix}
a^2+b^2=m+1 & \\a+b\le -1 (2)
&
\end{matrix}\right.. (1)$
có nghiệm
Đến đây thì mọi chuyện khá đơn giản ; ta linh cảm có gì đó " liên quan " đến phương trình đường tròn ; thực ra lý luận dựa vào phương trình đường tròn hay tiếp tục dùng đại số đều không quá khó để đi đến kết quả .
Thực ra ; ta có 1 để ý nho nhỏ là điểm $M\left ( a;b \right )$ nằm trên đường tròn $C\left ( 0;\sqrt{m+1} \right )$ có tổng $a+b$ đạt giá trị nhỏ nhất nếu nó nằm ở góc phần tư thứ 4 ; tương ứng góc $\frac{-3 \pi}{4}$
. Điều này định hướng cho ta trong phần còn lại....
Đi ăn đã ; đói quá
; tối tiếp
OK ; sắp tết đến nơi rồi ; tranh thủ làm nốt cho khỏi tồn đọng :
Dễ thấy là chỉ cần xét các giá trị : $m>-1$
Đặt : $ a = \sqrt{m+1} \sin \varphi ; b = \sqrt{m+1} \cos \varphi \ \ ( - \pi \le \varphi \le \pi)$
$(2) \iff \sin \varphi + \cos \varphi \le \frac{-1}{ \sqrt{m+1}}$
Nhận xét : Hệ $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi :
$ \min ( \sin \varphi + \cos \varphi ) \le \frac{-1}{ \sqrt{m+1}}$
Ta có : $ | \sin \varphi + \cos \varphi | \le \sqrt{ (1+1)( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi )}$
$ \implies | \sin \varphi + \cos \varphi | \le \sqrt{ 2}$
$ \implies -\sqrt{ 2} \le \sin \varphi + \cos \varphi $
Và có dấu đẳng thức xảy ra khi $ \varphi = \frac{-3 \pi}{4}$
$ \implies \min ( \sin \varphi + \cos \varphi )= -\sqrt{ 2}$
Vậy ; yêu cầu bài toán tương đương với : $ -\sqrt{ 2} \le \frac{-1}{ \sqrt{m+1}}$
$ \iff m \ge \frac{-1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 20-01-2012 - 14:43