Bài 8: Cho $a, b, c > 0$ và $x, y \geq 1$ là các số thực. Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{abc} \leq \sqrt[6]{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} a^2 b^2 + 2x \sum\limits_{cyc} a^2 bc\right)\left(\sum\limits_{cyc} a^2 + 2y \sum\limits_{cyc} ab\right)}{(3 + 6x)(3 + 6y)}} \leq \dfrac{1}{3} \sum\limits_{cyc} a.$
Bài 8:Bài này xài
Đạo Hàm giải mệt quá

.
Sử dụng
BĐT AM-GM,ta có:$ \left\{\begin{array}{l}\sum a^2b^2 \ge \sum_{cyc} a^2bc=abc(a+b+c)\\\sum a^2 \ge \sum ab\end{array}\right. $
Như vậy,ta có:$ \sqrt[6]{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} a^2 b^2 + 2x \sum\limits_{cyc} a^2 bc\right)\left(\sum\limits_{cyc} a^2 + 2y \sum\limits_{cyc} ab\right)}{(3 + 6x)(3 + 6y)}} \ge \sqrt[6]{\dfrac{(1+2x)(1+2y)abc(a+b+c)\sum ab}{9(1+2x)(1+2y)}}$
$=\sqrt[6]{\dfrac{abc(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}} \ge \sqrt[6]{a^2b^2c^2}=\sqrt[3]{abc}$
Việc còn lại của ta là chứng minh $ \sqrt[6]{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} a^2 b^2 + 2x \sum\limits_{cyc} a^2 bc\right)\left(\sum\limits_{cyc} a^2 + 2y \sum\limits_{cyc} ab\right)}{(3 + 6x)(3 + 6y)}} \le \dfrac{1}{3}\sum a$
Xét hàm số $f(x)= \sqrt[6]{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} a^2 b^2 + 2x \sum\limits_{cyc} a^2 bc\right)\left(\sum\limits_{cyc} a^2 + 2y \sum\limits_{cyc} ab\right)}{(3 + 6x)(3 + 6y)}}(x \ge 1)$
$f'(x)=\sqrt[6]{\dfrac{\sum a^2 +2y\sum ab}{3(3+6y)}}.\dfrac{2abc(a+b+c)(1+2x)-2\left[\sum a^2b^2 +2xabc(a+b+c) \right]}{6(1+2x)^2.\sqrt[6]{\left(\dfrac{\sum a^2b^2 +2xabc(a+b+c)}{1+2x} \right)^5}}$
$=\sqrt[6]{\dfrac{\sum a^2 +2y\sum ab}{3(3+6y)}}.\dfrac{abc(a+b+c)-\sum a^2b^2}{3(1+2x)^2.\sqrt[6]{\left(\dfrac{\sum a^2b^2 +2xabc(a+b+c)}{1+2x} \right)^5}} \le 0,\forall x \in [1;+ \infty)$
$ \Rightarrow f(x) \le f(1)=\sqrt[6]{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} a^2 b^2 + 2 \sum\limits_{cyc} a^2 bc\right)\left(\sum\limits_{cyc} a^2 + 2y \sum\limits_{cyc} ab\right)}{9(3 + 6y)}}$
Làm tương tự,ta cũng chứng minh được:
$\sqrt[6]{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} a^2 b^2 + 2 \sum\limits_{cyc} a^2 bc\right)\left(\sum\limits_{cyc} a^2 + 2y \sum\limits_{cyc} ab\right)}{9(3 + 6y)}} \le \sqrt[6]{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} a^2 b^2 + 2 \sum\limits_{cyc} a^2 bc\right)\left(\sum\limits_{cyc} a^2 + 2 \sum\limits_{cyc} ab\right)}{9.9}}=\sqrt[3]{\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}}$
Như vậy,ta chỉ cần chứng minh:$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}} \le \dfrac{a+b+c}{3} \Leftrightarrow 3\sum ab \le (a+b+c)^2$
$ \Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$(luôn đúng).
Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xaỷ ra khi $ \left\{\begin{array}{l}x=y=1\\a=b=c\end{array}\right.$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P/s:Anh
Pirates còn cách nào khác ngắn gọn hơn không ạ

.Còn bài trên của anh,em nhìn vô thấy ngán quá,để xem hôm nay có chém được không

Còn bài của bạn
Fire-Phoenix thì xem ở
đây
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 22-05-2011 - 10:24