Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 16 Bình chọn

Topic về bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 206 trả lời

#181 an1907

an1907

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A trường THPT Hồng Lĩnh tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:đọc sách, khám phá khoa học

Đã gửi 30-08-2015 - 10:30

CMR : nếu các số thực $a, b, c, d > 0$ thoả mãn $abcd = 1$ thì ta có bất đẳng thức :

$\frac{1}{\left ( 1 + a \right )^{2}} + \frac{1}{\left ( 1 + b \right )^{2}} + \frac{1}{\left ( 1 + c \right )^{2}} + \frac{1}{\left ( 1 + d \right )^{2}} \geq 1$



#182 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 30-08-2015 - 15:06

CMR : nếu các số thực $a, b, c, d > 0$ thoả mãn $abcd = 1$ thì ta có bất đẳng thức :

$\frac{1}{\left ( 1 + a \right )^{2}} + \frac{1}{\left ( 1 + b \right )^{2}} + \frac{1}{\left ( 1 + c \right )^{2}} + \frac{1}{\left ( 1 + d \right )^{2}} \geq 1$

Ta có: $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{(a+b)(a+\frac{1}{b})}+\frac{1}{(a+b)(b+\frac{1}{a})}=\frac{1}{1+ab}$

Tương tự: $\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2}\geq \frac{1}{1+cd}$

Cộng 2 cái trên lại với nhau => ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 30-08-2015 - 15:06

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#183 locnguyen2207

locnguyen2207

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hồng Lĩnh - Tỉnh Hà Tĩnh

Đã gửi 31-08-2015 - 08:16

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn $3 + 4(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) = 5(a + b + c)$. CMR:

$\frac{a^{2}}{a + \sqrt{(a + b)(a + c)}} + \frac{b^{2}}{b + \sqrt{(b + c)(b + a)}} + \frac{c^{2}}{c + \sqrt{(c + a)(c + b)}} \leq 1$


                 hinh-dong-hai-huoc-23.gif


#184 locnguyen2207

locnguyen2207

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hồng Lĩnh - Tỉnh Hà Tĩnh

Đã gửi 31-08-2015 - 08:20

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$. CMR:

$\frac{3a + b}{3b} + \frac{3b + c}{3c} + \frac{3c + a}{3a} + 2(a + b + c)^{2} \geq (21abc + \frac{1}{\sqrt[3]{abc}})(a + b + c)$


                 hinh-dong-hai-huoc-23.gif


#185 cminhnk

cminhnk

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 25-09-2015 - 21:31

Cho a,b,c >0, thỏa abc=1. CMR:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1)$

Có bạn nào làm được mà ngoài cách dồn biến không? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cminhnk: 25-09-2015 - 21:34


#186 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 03-01-2016 - 10:15

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab+bc+ca}{p^2 +9Rr} \ge \frac{4}{5}$


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#187 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 03-01-2016 - 10:18

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc\ge 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^4 b^2 c^2}{bc+1} +\frac{b^4 c^2 a^2}{ca+1} +\frac{c^4 a^2 b^2}{ab+1} \ge \frac{3}{2}$

 

P/s: Bài này có thể thay thế thành tìm Giá trị nhỏ nhất của vế trái.


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#188 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 03-01-2016 - 11:14

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab+bc+ca}{p^2 +9Rr} \ge \frac{4}{5}$

Tự chém trước luôn.

Yêu cầu bài toán tương đương với $(a \vec{GA}+b \vec{GB} + c \vec{GC})^2 \ge 0$ (luôn đúng)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 03-01-2016 - 11:16

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#189 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 03-01-2016 - 11:18

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc\ge 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^4 b^2 c^2}{bc+1} +\frac{b^4 c^2 a^2}{ca+1} +\frac{c^4 a^2 b^2}{ab+1} \ge \frac{3}{2}$

 

P/s: Bài này có thể thay thế thành tìm Giá trị nhỏ nhất của vế trái.

Sử dụng đánh giá $\frac{a^4 b^2 c^2}{bc+1} \ge \frac{a^3}{a+1} \ge \frac{5}{4}a - \frac{3}{4}$ là xong.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 06-01-2016 - 21:50

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#190 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 03-01-2016 - 11:23

1 bài nhỏ tự chế từ THTT năm 2003:

$Cho x,y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z = 2$. Tìm max, min của biểu thức

$$P = x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^3 + y^3 + z^3)$$


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#191 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 03-01-2016 - 11:30

1 bài nhỏ tự chế từ THTT năm 2003:

$Cho x,y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z = 2$. Tìm max, min của biểu thức

$$P = x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^3 + y^3 + z^3)$$

Đáp số: $minP = -2$ và $maxP = 0$.


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#192 vietanhpbc

vietanhpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An
  • Sở thích:Toán học & nhiều cái khác

Đã gửi 09-01-2016 - 20:35

Đáp số: $minP = -2$ và $maxP = 0$.

bạn giải ra chưa?


Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

 

Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.

 

ALBERT EINSTEIN

 


#193 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 09-01-2016 - 22:16

Mình giải rồi. Post lên để cùng tham khảo lời giải của các bạn, biết đâu có nhiều ý tưởng hay hơn...


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#194 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 10-01-2016 - 11:05

1 bài nhỏ tự chế từ THTT năm 2003:

$Cho x,y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z = 2$. Tìm max, min của biểu thức

$$P = x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^3 + y^3 + z^3)$$

Bài này là sao y nguyên rồi còn gì

Ta chứng minh $P \geq -2$

Hay $2 \geq x^3\left(2-x\right)+y^3\left(2-y\right)+z^3\left(2-z\right)$

$\Leftrightarrow 2 \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$         

Lại có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \leq \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{8}=2$

Ta lại có: $x^4+y^4+z^4-2\left(x^3+y^3+z^3\right)= -x^3\left(y+z\right)-y^3\left(x+z\right)-z^3\left(x+y\right)\leq 0$

Vậy GTLN của $P$ là $0$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $2$ và $2$ số còn lại bằng $0$

       GTNN của $P$ là $-2$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $0$ và $2$ số còn lại bằng $1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#195 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 10-01-2016 - 12:43

Bài này là sao y nguyên rồi còn gì

Ta chứng minh $P \geq -2$

Hay $2 \geq x^3\left(2-x\right)+y^3\left(2-y\right)+z^3\left(2-z\right)$

$\Leftrightarrow 2 \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$         

Lại có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \leq \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{8}=2$

Ta lại có: $x^4+y^4+z^4-2\left(x^3+y^3+z^3\right)= -x^3\left(y+z\right)-y^3\left(x+z\right)-z^3\left(x+y\right)\leq 0$

Vậy GTLN của $P$ là $0$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $2$ và $2$ số còn lại bằng $0$

       GTNN của $P$ là $-2$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $0$ và $2$ số còn lại bằng $1$

Hì hi... Thì mới nói đây chỉ là 1 bài nhỏ. Thật ra đề gốc chỉ là chứng minh BĐT 1 vế. Sau đó mình tự phát triển ra dạng tổng quát hơn: 

Cho $x, y, z$ không âm và thỏa mãn $x + y + z = 2$. Tìm max, min của biểu thức 

$$m(x^4 + y^4 + z^4) - n(x^3 + y^3 + z^3)$$, với $m, n$ là các số dương.

Cách giải của bạn hoàn toàn chính xác cho bài ở trên, nhưng không biết có thể giải quyết cho bài toán tổng quát ở trên hay không? Bạn hãy thử xem sao nhé!

Mình thì biến đổi theo $t = xy + yz + zx$ sẽ về hàm rất đơn giản, từ đó có thể ràng buộc được điều kiện $m, n$ để dễ tìm cực trị. Thật ra với $m, n$ tùy ý biểu thức trên vẫn luôn có cực trị (thỏa định lý hàm liên tục trên một tập compact), nhưng tính theo $m, n$ chỉ mang ý nghĩa tính toán trâu bò chứ cũng chẳng hay ho gì  :D).


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#196 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 10-01-2016 - 12:52

1 bài minh họa:

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x + y + z = 2$.

Tìm $max, min$ của biểu thức $P = 2(x^4 + y^4 + z^4) - 5(x^3 + y^3 + z^3)$.


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#197 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 10-01-2016 - 12:53

1 bài minh họa:

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x + y + z = 2$.

Tìm $max, min$ của biểu thức $P = 2(x^4 + y^4 + z^4) - 5(x^3 + y^3 + z^3)$.

Đáp số:

$min P = \frac{-33}{4} ; maxP = \frac{-88}{27}$.


Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#198 tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 11-01-2016 - 00:04

Bài này là sao y nguyên rồi còn gì

Ta chứng minh $P \geq -2$

Hay $2 \geq x^3\left(2-x\right)+y^3\left(2-y\right)+z^3\left(2-z\right)$

$\Leftrightarrow 2 \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$         

Lại có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \leq \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{8}=2$

Ta lại có: $x^4+y^4+z^4-2\left(x^3+y^3+z^3\right)= -x^3\left(y+z\right)-y^3\left(x+z\right)-z^3\left(x+y\right)\leq 0$

Vậy GTLN của $P$ là $0$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $2$ và $2$ số còn lại bằng $0$

       GTNN của $P$ là $-2$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $0$ và $2$ số còn lại bằng $1$

Bài này hệ số hơi đặc biệt nên tìm $max$ có thể làm ngắn gọn:

Theo giả thiết ta có $0 \le x, y, z \le 2$. Ta có thể viết lại

$P= x(x - 2) + y(y - 2) + z(z - 2) \le 0$

Nên $maxP = 0$ khi $(x, y, z) = (0, 0, 2)$ và các hoán vị của nó.

Chủ yếu là tìm min:

Đặt $t = xy + yz + zx$, với $0 \le t \le \frac{1}{3}(x+y+z)^2 = \frac{4}{3}$. Khi đó:

$x^4 + y^4 + z^4 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(x^2 y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

                         $ = ((x+y+z)^2 - 2t)^2 - 2(t^2 - 2xyz(x+y+z) $

                         $ = 2t^2 -16t + 8xyz + 16$.

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y)(y+z)(z+x) = 8 - 3(2-x)(2-y)(2-z)$

                         $ = 8 - 6t + 3xyz$

Suy ra $P = 2t^2 - 4t + 2xyz = 2(t-1)^2 + 2xyz - 2 \ge 0 + 0 -2 = -2$

Nên $minP = -2$ khi $x+y+z = 2$ và $xy + yz + zx = 1$ và $xyz = 0 \Leftrightarrow (x,y,z) = (0, 1, 1)$ và các hoán vị của nó.

 

(đối với bài toán tổng quát, tìm max, min sẽ đều đánh giá theo $t$).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 11-01-2016 - 00:08

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#199 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-01-2016 - 19:55

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab+bc+ca}{p^2 +9Rr} \ge \frac{4}{5}$

 

Ta có $R = \frac{abc}{4S},\,r = \frac{2S}{a+b+c}$ và $2p=a+b+c$ do đó bất đẳng thức trên tương đương với \[\frac{ab+bc+ca}{\dfrac{(a+b+b)^2}{4} +\dfrac{9abc}{2(a+b+c)}} \ge \frac{4}{5},\] hay là \[2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)] \geqslant a^3+b^3+c^3+9abc, \quad (1)\] hoặc \[2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc] \geqslant a^3+b^3+c^3-3abc,\] tương đương với \[4c(a-b)^2+2(a+b)(a-c)(b-c) \geqslant (a+b+c)[(a-b)^2+(a-c)(b-c)],\] \[{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( 3c-a-b \right)+\left( a+b-c \right)\left( a-c \right)\left( b-c \right)\ge 0.\]

Hiển nhiên đúng nếu ta giả sử $c = \max\{a,\,b,\,c\}$ nhưng điều này luôn thực hiện được. Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Nhận xét. Bất đẳng thức (1) chính là bất đẳng thức Schur bậc 3 sau khi sử dụng phép đổi biến Ravi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 11-01-2016 - 22:06

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#200 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 11-01-2016 - 22:22

Dùng bất đẳng thức này để giải sẽ nhanh hơn
 
\[27(a^2b+b^2c+c^2a+abc) \leqslant 4(a+b+c)^3,\]
với $a,\,b,\,c$ không âm.

He he bổ đề anh huyện nói cũng khó nhai đó nhân ra hết hoặc dùng phép E.M.V của anh P.K.H bài này bên LQD đà nẵng đã ra 1 lần bài này
P/s Mà anh huyện giải ra bài em đưa trên face chưa z




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh