Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 16 Bình chọn

Topic về bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 206 trả lời

#81 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 27-10-2011 - 23:28

Bài 43 (bài toán làm mạnh từ bài 41 mà tôi sưu tầm được)

Với mọi số thực không âm $a,\,b,\,c$thỏa mãn $ab+bc+ca>0,$ta luôn có :

$\dfrac{{a(b + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{b(a + c)}}{{c^2+ca+a^2}} + \dfrac{{c(a + b)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2 + \dfrac{{3{{[(a - b)(b - c)(c - a)]}^2}}}{{({a^2} + ab + {b^2})({b^2} + bc + {c^2})(c^2+ca+a^2)}}.$
Ngoài ra bài 41 ấy có thể chứng minh bằng AM GM
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#82 taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:"Mù" Pao Chải Thái Bình

Đã gửi 28-10-2011 - 11:32

Bài 40Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a, b, c$, ta luôn có
$$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{ab}{a^2+bc+ca}+\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}+\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}$$


Em xin giải quyết bài toán như sau:

Ta có: $VP.(\dfrac{{a(a^2 + bc + ca)}}{b} + \dfrac{{b(b^2 + ca + ab)}}{c} + \dfrac{{c(c^2 + ab + bc)}}{a})$
$ \le (a + b + c)^2 $
Lại có $(\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a})(ab + bc + ca) \ge (a^2 + b^2 + c^2 )^2$
Nên $\dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} \ge ab + bc + ca$
$\dfrac{{a^2 c}}{b} + bc + \dfrac{{b^2 a}}{c} + ca + \dfrac{{c^2 b}}{a} + ab \ge 2(ab + bc + ca)$
$ \Rightarrow \dfrac{{a^3 }}{b} + \dfrac{{b^3 }}{c} + \dfrac{{c^3 }}{a} + ab + bc + ca + \dfrac{{a^2 c}}{b} + \dfrac{{b^2 a}}{c} + \dfrac{{c^2 b}}{a} \ge 3(ab + bc + ca)$
Mặt khác: $(a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2 )$
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh
Dấu = xảy ra khi a = b = c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taminhhoang10a1: 28-10-2011 - 11:32

THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#83 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 28-10-2011 - 14:45

Bài 42Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{(3a-1)^2}{2a^2+1}+\dfrac{(3b-1)^2}{2b^2+1}+\dfrac{(3c-1)^2}{2c^2+1}\geq 4$


Bài 42Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{(3a-1)^2}{2a^2+1}+\dfrac{(3b-1)^2}{2b^2+1}+\dfrac{(3c-1)^2}{2c^2+1}\geq 4$

Với $x,y,z>0$thỏa mãn $xyz=1$ ta có$\dfrac{1}{x^2 + x + 1} + \dfrac{1}{y^2 + y + 1} + \dfrac{1}{z^2 + z + 1} \ge 1$
Chứng minh: Do $xyz=1$ nên$\exists a,b,c > 0$ sao cho $x = \dfrac{bc}{a^2};y = \dfrac{ca}{b^2};z = \dfrac{ab}{c^2}$
$ \rightarrow \sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{x^2 + x + 1} = \sum\limits_{cyc} \dfrac{a^4}{a^4 + a^2bc + b^2c^2} \ge \dfrac{\left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^2}{a^4 + b^4 + c^4+ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + abc(a + b + c)} \ge 1$
Do $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge abc(a + b + c)$
Ta chứng minh $\dfrac{\left( 3a - 1 \right)^2}{2a^2 + 1} \ge \dfrac{4a^2}{1 + a + a^2}$
Thật vậy bất đẳng thức này
$\Leftrightarrow a^4 + 3a^3 + 1 \ge 5a^2$(Đúng theo $AM-GM$)
Xây dựng các Bât đẳng thức tương tự ta được:
$VT \ge 4\left( \dfrac{1}{\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a} + 1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{b} + 1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{c} + 1} \right) \ge 4$
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Dark templar:Lần sau em đừng có gõ hệ vô bài post nếu không cần thiết.Anh sửa giùm em bài post này rồi đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 28-10-2011 - 21:00
latex

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 

94e8dcf4f558448c8c8e808278c0c65e.0.gif


#84 taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:"Mù" Pao Chải Thái Bình

Đã gửi 28-10-2011 - 15:33

sao công thức lại bị lộn hết vậy anh bboy114crew

THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#85 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 28-10-2011 - 18:32

Tóm lại điều ta cần ở bài 42 là bổ đề
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho$abc=1$.CMR
$\dfrac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + b + 1}} + \dfrac{1}{{{c^2} + c + 1}} \ge 1$
Đây là một bổ đề quen thuộc và có nhiều ứng dụng
Vài ví dụ mà mình sưu tầm được
Bài 43 cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$.CMR
$\dfrac{1}{{3{a^2} + {{(a - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{b^2} + {{(b - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{c^2} + {{(c - 1)}^2}}} \ge 1$
Bài 44 Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ thì
$\dfrac{a}{{2{a^3} + 1}} + \dfrac{b}{{2{b^3} + 1}} + \dfrac{c}{{2{c^3} + 1}} \le 1$
Bài 45 chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
$\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + \dfrac{1}{4}ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + \dfrac{1}{4}bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + \dfrac{1}{4}ca + {a^2}}}} \le 2$
Bài 46 Cho các số thực dương $a,b,c$ .CMR
$\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 7ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 7bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 7ca + {a^2}}}} \ge 2$
Bài 47Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca>0$.CMR
$\sqrt {\dfrac{{{a^6} + 2}}{{a({a^3} + 2)}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^6} + 2}}{{b({b^3} + 2)}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^6} + 2}}{{c({c^3} + 2)}}} \ge a + b + c$
Vẫn còn rất nhiều các bất đẳng thức là hệ qur của bài toán trên các bạn hãy tiếp tục bổ sung thêm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 28-10-2011 - 23:58

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#86 wallunint

wallunint

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A2, THPT chuyên LQĐ, ĐN

Đã gửi 30-10-2011 - 00:16

Lâu ngày mới quay lại topic này :) Thấy các bạn hăng hái quá zz Chắc mình về hưu thôi :)



Bài 43: (bài toán làm mạnh từ bài 41 mà tôi sưu tầm được)
Với mọi số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0$, ta luôn có :
$$ \dfrac{{a(b + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{b(a + c)}}{{c^2+ca+a^2}} + \dfrac{{c(a + b)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2 + \dfrac{{3{{[(a - b)(b - c)(c - a)]}^2}}}{{({a^2} + ab + {b^2})({b^2} + bc + {c^2})(c^2+ca+a^2)}}. $$
Ngoài ra bài 41 ấy có thể chứng minh bằng AM GM


Bằng phép biến đổi tương đương, ta được:
$$ \sum {\dfrac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} - 2 = \sum {\dfrac{{ab{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + ca + {a^2}} \right)}}} $$
Sử dụng kết quả trên, ta dễ dàng có (đpcm).




Tóm lại điều ta cần ở bài 42 là bổ đề
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$.CMR
$$ \dfrac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + b + 1}} + \dfrac{1}{{{c^2} + c + 1}} \ge 1 $$
Đây là một bổ đề quen thuộc và có nhiều ứng dụng
Vài ví dụ mà mình sưu tầm được
Bài 43: cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$.CMR
$$ \dfrac{1}{{3{a^2} + {{(a - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{b^2} + {{(b - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{c^2} + {{(c - 1)}^2}}} \ge 1 $$
Bài 44: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ thì
$$ \dfrac{a}{{2{a^3} + 1}} + \dfrac{b}{{2{b^3} + 1}} + \dfrac{c}{{2{c^3} + 1}} \le 1 $$
Bài 45: chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + \dfrac{1}{4}ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + \dfrac{1}{4}bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + \dfrac{1}{4}ca + {a^2}}}} \le 2 $$
Bài 46: Cho các số thực dương $a,b,c$ .CMR
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 7ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 7bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 7ca + {a^2}}}} \ge 2 $$
Bài 47: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca>0$.CMR
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^6} + 2}}{{a({a^3} + 2)}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^6} + 2}}{{b({b^3} + 2)}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^6} + 2}}{{c({c^3} + 2)}}} \ge a + b + c $$
Vẫn còn rất nhiều các bất đẳng thức là hệ qur của bài toán trên các bạn hãy tiếp tục bổ sung thêm


Bài 43, 46: 2 bài này cũng khá quen thuộc và đơn giản, ta sẽ sử dụng một số đánh giá đơn giản và bổ đề trên:
- bài 43: $$ \dfrac{1}{{3{a^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}} \geqslant \dfrac{1}{{{a^4} + {a^2} + 1}} $$
- bài 45: Đặt $$ x = \sqrt {\dfrac{a}{b}} ,y = \sqrt {\dfrac{b}{c}} ,z = \sqrt {\dfrac{c}{a}} $$
và $$ \dfrac{1}{{\sqrt {{x^4} + 7{x^2} + 1} }} \geqslant \dfrac{1}{{{x^2} + x + 1}} $$

Bài 46: Ngoài cách sử dụng bổ đề trên, ta có thể chứng minh bài toán bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:
$$ \sum {\dfrac{a}{{\sqrt {{b^2} + \dfrac{{bc}}{4} + {c^2}} }}} = \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt {{b^2} + \dfrac{{bc}}{4} + {c^2}} }}} \geqslant \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } }} $$
Vậy ta chỉ cần chứng minh: $ {\left( {a + b + c} \right)^2} \geqslant 2\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } $
Áp dụng bdt Cauchy-Schwarz, ta có:
$$ {\left( {\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } } \right)^2} \leqslant \left( {\sum a } \right)\left( {\dfrac{3}{4}abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} } \right) $$
Bất đẳng thức quy về chứng minh:
$$ \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{4} \geqslant \dfrac{3}{4}abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \geqslant \sum {ab\left( {a + b} \right)} $$

Bài 44 thì khá khó và bài 47 thì giải tương tự bài 42 của bboy114crew

ps: Anh chị nào là ĐHV Olympic thì xóa dùm mấy bài bị trùng trong topic này nha :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 30-10-2011 - 00:42

Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!


#87 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 30-10-2011 - 09:56

Bài 47Cho a,b,c,d>0.Chứng minh:
$\dfrac{a^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}+\dfrac{b^{4}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}+\dfrac{c^{4}}{(c+d)(c^{2}+d^{2})}+\dfrac{d^{4}}{(d+a)(d^{2}+a^{2})}\geq \dfrac{a+b+c+d}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 30-10-2011 - 18:16
Đánh số thứ tự bài


#88 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 30-10-2011 - 13:21

thêm bài này
bài48:$ \dfrac{a^{4}}{b^{3}+c^{3}}+\dfrac{b^{4}}{c^{3}+a^{3}}+\dfrac{c^{3}}{a^{3}+b^{3}}\geq \dfrac{a+b+c}{2}$


#89 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 30-10-2011 - 15:06

thêm bài này
bài48:$ \dfrac{a^{4}}{b^{3}+c^{3}}+\dfrac{b^{4}}{c^{3}+a^{3}}+\dfrac{c^{3}}{a^{3}+b^{3}}\geq \dfrac{a+b+c}{2}$

BĐT$ \Leftrightarrow \sum\dfrac{(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})[c^{3}+(a+b)(a^{2}+b^{2})]}{(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 30-10-2011 - 15:06


#90 wallunint

wallunint

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A2, THPT chuyên LQĐ, ĐN

Đã gửi 30-10-2011 - 20:25

Ngày cuối tuần rồi :P Các bạn hãy giải thử bài này zz Nó cần sự khéo léo là chính:

Bài 49: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a \ge b \ge c \ge 0$. Chứng minh rằng:
$$ a + 4b + 7c \leqslant 4\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right) $$



Mong các bạn trao đổi tích cực hơn trong topic này

Bài 33: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ a+b+c=2 $.CMR
$$ \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \le 2 $$
Nguồn:Mathlink.ro


Ta có một bất đẳng thức cũng giống bdt trên, nhưng các bạn hãy thử giải bài này bằng p,q,r.


Bài 50: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ a+b+c=1 $.CMR
$$ \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \le \dfrac{1}{32} $$

Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!


#91 wallunint

wallunint

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A2, THPT chuyên LQĐ, ĐN

Đã gửi 31-10-2011 - 18:47


Ngày cuối tuần rồi :P Các bạn hãy giải thử bài này zz Nó cần sự khéo léo là chính:

Bài 49: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a \ge b \ge c \ge 0$. Chứng minh rằng:
$$ a + 4b + 7c \leqslant 4\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right) $$


Để topic được tiếp tục, có lẽ mình sẽ tự giải bài này vậy :)
(Đã xóa bởi wallunint)


ps: Bỏ qua bài 50. Các bạn post tiếp bài 51 đi nhé :D
Bài này giải bằng p,q,r khá phức tạp. Bạn nào muốn thử sức thì cứ làm thử theo và gợi ý sau:
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại như sau:
$ \left( {1 - q - c - ab} \right)\left( {1 - q - a - bc} \right)\left( {1 - q - b - ca} \right) \leqslant \dfrac{1}{{32}} $
$ \Leftrightarrow {q^2} - 2{q^3} - r\left( {2 + r - 4q} \right) \leqslant \dfrac{1}{{32}} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 03-06-2012 - 20:38

Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!


#92 Tạ Hồng Quảng

Tạ Hồng Quảng

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Đã gửi 01-11-2011 - 08:31

Bài 49 (sáng tác).

-------------Do bài nhìn xấu xí nên đề nghị các bạn chỉ giải các trường hợp riêng dưới đâu thôi:(a, b,c thực bất kỳ)

1/ $( a^2+b^2+c^2) ^{2}+ 3( a+b+c )( a-b)( b-c)( c-a) \ge 3abc ( a+b+c)$

2/ $ \sum [a^4+2a^3b+(\dfrac{25}{3}+k)a^2b^2] \ge \sum[ 6b^3a+(\dfrac{16}{3}+k)a^2bc] , \,( k \ge 0 )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tạ Hồng Quảng: 25-01-2012 - 16:51


#93 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2099 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-11-2011 - 09:02

Bài 49 (sáng tác).

Cho $ p, q, m, k, l$ là các số thực cho trước . Chứng minh rằng với mọi biến thực $a,b,c$ (tổng hoán vị vòng theo $a,b,c$)



$\sum_{ }^{ }[(1- qp+q^2+p^2-q-p) a^4+(-lq-mp+2k-kp+2lp-m+2mq-kq -l )a^3b+ $
$+( 2kp+2lq-mp-mq-kq-lp+2m-k-l)b^3a +$
$+( p+q-1+ qp-mk-lm-kl+ {k}^{2}+{m}^{2}+{l}^{2}-{q}^{2}-{p}^{2} )a^2b^2 + $
$+(2l-k-m-{m}^{2}-{l}^{2}-{k}^{2}+mk-mq-kp+2kq+lm+2mp+kl-lp-lq)a^2bc] \ge 0 $

Bất đẳng thức gì mà xấu xí quá trời :tongue:
Chắc bạn chế biến kiểu $$\sum_{a,b,c} (ma^2+nb^2+pc^2+qab+rbc+sca)^2 \ge 0$$ hoặc $$\sum_{x,y,z} (x-y)^2 \ge 0$$ với $x=a^2+nb^2+pc^2+qab+rbc+sca$ ($y,z$ tương tự).

Hãy xem thêm những định lý tổng quát tuyệt đẹp ở đây: http://www.emis.de/j...IPAM/105_09.pdf

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#94 Tạ Hồng Quảng

Tạ Hồng Quảng

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Đã gửi 01-11-2011 - 09:53

Bất đẳng thức gì mà xấu xí quá trời :tongue:


Hãy xem thêm những định lý tổng quát tuyệt đẹp ở đây: http://www.emis.de/j...IPAM/105_09.pdf


Nó xấu xí vì quá nhiều biến và đơn giản nhưng nếu thay các giá trị cụ thể vào ta được một loạt các bất đẳng thức không tầm thường:

1/ $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ (Vasile Cirtoajie )
2/ $( a^2+b^2+c^2) ^{2}+ 3( a+b+c )( a-b)( b-c)( c-a) \ge 3abc ( a+b+c)$
3/ $\sum a^4+\sum ab^3\ge 2\sum a^3b$ (Vasile Cirtoajie )
4/ $ \sum(a^4+8b^2c^2) \ge 3(\sum xy)(\sum x^2)$ (Vasile Cirtoajie )
5/ $\sum [a^4+2a^3b+11a^2b^2] \ge \sum [6b^3a+8a^2bc] , \, $ (Crux)
6/ $P, Q $ -số thực bất kỳ.
$\sum [a^4+Pa^3b+Qb^3a+\dfrac 13(P^2+Q^2+PQ-3)a^2b^2] \ge$
$ \ge \sum \dfrac 13 (3P+3Q+P^2+Q^2+PQ)a^2bc$
....

Rất có thể các bất đẳng thức rất đẹp mà bạn nêu ở trên có thể suy ra từ những cái xấu xí đó. Do xấu xí nên ít người để ý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tạ Hồng Quảng: 01-11-2011 - 21:35


#95 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 01-11-2011 - 14:15

Bài 51(Tạp chí TH&TT) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả $a+b+c=6$.Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{\sqrt{{{b}^{3}}+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{{{c}^{3}}+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{{{a}^{3}}+1}}\ge 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 02-11-2011 - 12:48

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#96 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 02-11-2011 - 12:47

Bài 52 Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $$1+a+b+c \ge 2\sqrt{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}$$[
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#97 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 03-11-2011 - 00:41

Bài 51:Lời giải của tạp chí
$\sqrt{a^3+1}\leq \sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq \dfrac{a^2+2}{2}=>\dfrac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq \dfrac{2c}{a^2+1}$
Tương tự ta có$\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}\geq \dfrac{2a}{b^2+1};\dfrac{b}{\sqrt{c^3+1}}\geq \dfrac{2b}{c^2+1}$
Ta sẽ chứng minh$\sum \dfrac{2a}{b^2+2}\geq 2$
Hay $\sum (a-\dfrac{2a}{b^2+2})\leq 4$<=>$\sum \dfrac{ab^2}{b^2+c}\leq 4$
Áp dụng AM-GM ta có $(2b^2+4)\geq \3b\sqrt[3]{4b}$ làm những BĐT kia tương tự
áp dụng BĐT $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=>\sum \dfrac{ab^2}{b^2+2}\geq \sum \dfrac{1}{3}.\sqrt[3]{2a.ab.ab}\leq \dfrac{1}{9}(2(a+b+c)+2(ab+bc+ac))=4$
Từ đây ta có đpcm
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#98 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 03-11-2011 - 11:33

Bạn đã có lời giải trong tay vậy hãy post luôn bài toán tổng quát của tạp chí lên đi
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#99 nguyenphu.manh

nguyenphu.manh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nghệ an

Đã gửi 03-11-2011 - 13:06

Bài 53.

không biết đã có trên dđ chưa????

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1.$
Tìm max của:
$P=\dfrac{a^2+1}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{c^2+1}+\dfrac{c^2+1}{a^2+1}$
SLNA vô đối_pro


http://nghiloc2.forumvi.com

#100 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 03-11-2011 - 13:33

Bài toán tổng quát cho bài 51
Với các số thực dương $a_{1};a_{2};...a_{n};a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=2n$
a) Ta luôn có: $\sum_{k=1}^{n}.\dfrac{a_{k}}{\sqrt[2]{a_{k+1}^{3}}}\geq \dfrac{2n}{3}$ Coi $a_{n+1}\equiv a_{1}$
b) $\sum_{j=1}^{n}.\sum_{i=1}^{n}.\dfrac{x_{j}}{\sqrt{x_{i}^{3}+1}}\geq \dfrac{2n(n-1)}{3}$

Cho em hỏi ở dòng thứ 3 mình dùng Cô si ngược dấu được không nếu ai biết thi post lời giải lên dùm
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh