Giữ nguyên x, giả sử có $f(y1)=f(y2) => y1=y2$
=> $f(x)$ đơn ánh. Lại có f(x) liên tục nên f(x) đơn điệu trên R
cho x=1 có $f\left( {f\left( y \right)} \right) = yf\left( 1 \right) $
cho y=1 có $f\left( {xf\left( 1 \right)} \right) = f\left( x \right)$
$ \Rightarrow x = f\left( {f\left( x \right)} \right)$
thay vào ta có f(x) nhân tính trên R
cho x=1, y thay đổi => tập giá trị của f(x) là R
Ta chứng minh f là hàm lẻ
Giả sử tồn tại a,b thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( { - a} \right) > - f\left( a \right) \\ f\left( { - b} \right) > - f\left( b \right) \\ \end{array} \right. \Rightarrow f\left( {ab} \right) = f\left( { - a. - b} \right) \ne f\left( {ab} \right)$
=> vô lí
tương tự nếu có a,b mà
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( { - a} \right) < - f\left( a \right) \\ f\left( { - b} \right) < - f\left( b \right) \\ \end{array} \right. \Rightarrow f\left( {ab} \right) = f\left( { - a. - b} \right) \ne f\left( {ab} \right)$
=> vô lí
Vậy $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$
+) f(x) đồng biến
Nếu $f\left( x \right) > x \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) > f\left( x \right) \Leftrightarrow x > f\left( x \right)$ => vô lí
tương tự nếu $f\left( x \right) < x \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) < f\left( x \right) \Leftrightarrow x < f\left( x \right)$ => vô lí
Vậy f(x)=x
+)f(x) nghịch biến
Nếu $\[f\left( x \right) > - x \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) < f\left( { - x} \right) \Leftrightarrow x < - f\left( x \right) \Leftrightarrow - x > f\left( x \right) $ => vô lí
tương tự
vậy f(x) = -x
tóm lại có 2 hàm thỏa mãn là $f(x)=x và f(x) = - x$
Góp 1 bài:
Tìm $f(x)$ từ R đến R bị chặn thỏa mãn:
$$f\left( {xf\left( y \right)} \right) + yf\left( x \right) = xf\left( y \right) + f\left( {xy} \right)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTH_Thái Hà: 30-10-2011 - 20:33