Chủ đề này có 31 trả lời

[PTH_Thái Hà]

Bài 13:
cho x=y=z=t=0 $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 0 \\ f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right.$
(+) Nếu f(0)=1/2
cho x=y=z=0 => f(t)=0 với mọi t
(+) nếu f(0)=0
cho x=y=0 => f(x) là hàm lẻ
cho $x = z = a,y = t = b \Rightarrow {\left[ {f\left( a \right) + f\left( b \right)} \right]^2} = f\left( {2ab} \right)$
cho $x = z = a,y = b,t = - b$
$ \Rightarrow {f^2}\left( a \right) - {f^2}\left( b \right) = f\left( {2ab} \right) = {\left[ {f\left( a \right) + f\left( b \right)} \right]^2}$
$ \Leftrightarrow f\left( b \right)\left[ {f\left( a \right) + f\left( b \right)} \right] = 0$
$ \Rightarrow f\left( x \right) \equiv 0$
vì nếu tồn tại t để f(t) khác 0
$ \Rightarrow f\left( y \right) = - f\left( t \right)\forall y \ne x$ (1)
$ \Rightarrow f\left( {{y_0}} \right) = - f\left( t \right) \ne 0$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = - f\left( {{y_0}} \right) = f\left( t \right)\forall x \ne {y_0} \ne t $
mâu thuẫn với (1)
tóm lại có 2 hàm thỏa mãn là f(x)=0 và f(x) = 1/2 với mọi x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTH_Thái Hà: 16-11-2011 - 17:43

[alex_hoang]

Ta phải khởi đọng lại topic này thôi nó đã nguội một thời gian rồi
Mình xin post tiếp một bài tập nữa
Bài 14:Tìm các hàm số $f:R \to R$ sao cho với mọi $x,y$ thuộc $R$ thì
\[f(xf(x) + f(y)) = {\left( {f(x)} \right)^2} + y\]

[Crystal]

tóm lại có 2 hàm thỏa mãn là f(x)=0 và f(x) = 1/2 với mọi x

Bài của bạn thiếu hàm $f\left( x \right) = {x^2}$.

[alex_hoang]

Bài 15:Tìm hàm số $f:R \to R$ sao cho với mọi $x,y \in R$ ta luôn có
\[f({x^2} + f(y)) = y + {\left( {f(x)} \right)^2}\]

[alex_hoang]

Bài 16:Tìm $f:{R^ + } \to {R^ + }$ sao cho với mọi $x,y\in {R^ +}$ ta luôn có
\[xf(xf(y)) = f(f(y))\]

[alex_hoang]

Bài 17:Tìm hàm số $f:N \to N$ sao cho với mọi số tự nhiên $m,n$ thì ta luôn có
\[f(mn + 1) = mf(n) + 2\]

[alex_hoang]

OK anh bạn quá khủng nên cảm thấy dễ thôi
Bài 18 nhé
Cho hàm số $f:N \to N$ thỏa mãn điều kiện

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {f(2n) + f(2n + 1} \right) + 1)(f(2n + 1) - f(2n) - 1) = 3(1 + 2f(n))}\\{f(2n) \ge f(n)}\end{array}} \right.\]
Với mọi số tự nhiên $n$
Hãy tìm số tự nhiên $n$ sao cho $f(n) \le 2009$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 26-11-2011 - 19:40

[alex_hoang]

Bài 19:Tìm tất cả các hàm số ${f:N \to N}$ thỏa mãn (với mọi $m,n$ là các số tự nhiên)
\[{f^2}(m) + {f^2}(n) = f({m^2} + {n^2}) + 2(m + n) + 1\]

[alex_hoang]

Bài 20.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hàm số:$f:N* \to N*$ thỏa mãn
\[f(m + f(n)) = n + f(m + 2006);\forall m,n \in N*\]

[PTH_Thái Hà]

Bài 21:
Tìm hàm $f:R->R$ thỏa mãn
i) f(x) bị chặn trên
ii)$f\left( {xf\left( y \right)} \right) + yf\left( x \right) = xf\left( y \right) + f\left( {xy} \right)$ với mọi x,y thuộc R

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTH_Thái Hà: 29-11-2011 - 16:44

[nguyen thai phuc]

Bài 20.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hàm số:$f:N* \to N*$ thỏa mãn
\[f(m + f(n)) = n + f(m + 2006);\forall m,n \in N*\]

Bài này mình có một lời giải "ngắn hơn", hôm đó định post rồi lại quên, sau lại bận thi cử (:|:
thay \[n\to n+f\left( p \right)\] thì

\[\begin{align}
& n+f\left( p \right)+f\left( m+2006 \right)=f\left( m+f\left( n+f\left( p \right) \right) \right) \\
& =f\left( m+p+f\left( n+2006 \right) \right)=n+2006+f\left( m+p+2006 \right) \\
& \Rightarrow f\left( p \right)+f\left( m+2006 \right)=f\left( m+p+2006 \right)+2006 \\
\end{align}\]

vậy
\[\begin{align}
& f\left( p \right)+f\left( q \right)+f\left( m+2006 \right)=f\left( p+m+2006 \right)+2006+f\left( q \right) \\
& =f\left( p+q+m+2006 \right)+4012=f\left( p+q \right)+f\left( m+2006 \right)+2006 \\
& \Rightarrow f\left( p \right)+f\left( q \right)=f\left( p+q \right)+2006\Rightarrow f\left( n \right)=n+2006 \\
\end{align}\]

[Crystal]

hiu hắt quá nhỉ. Thêm 1 bài:
Bài 12
tìm hàm $f:R \to R$ thỏa mãn với $x \ne 0$ thì:
$xf\left( y \right) - yf\left( x \right) = f\left( {\dfrac{y}{x}} \right)$

Đặt $ P(x,y) $ biểu diễn cho $ xf(y)-yf(x)=f(\dfrac{y}{x}) $

Khi đó: $$P(1,1) \Rightarrow f\left( 1 \right) = 0,\,\,\,\,P\left( {2,0} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0$$
Nếu $x \ne 0$ thì: $$P\left( {x,1} \right) \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = - f\left( x \right)$$
$$P\left( {\dfrac{1}{x},2} \right) \Rightarrow f\left( {2x} \right) = \dfrac{1}{x}f\left( 2 \right) - 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{1}{x}f\left( 2 \right) + 2f\left( x \right)$$
$$P\left( {\dfrac{1}{2},x} \right) \Rightarrow f\left( {2x} \right) = \dfrac{1}{2}f\left( x \right) - xf\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}f\left( x \right) + xf\left( 2 \right)$$
Do đó: $$\dfrac{1}{x}f\left( 2 \right) + 2f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}f\left( x \right) + xf\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2f\left( 2 \right)}}{3}\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)$$
Vậy ta có: $$f\left( 0 \right) = 0,f\left( x \right) = a\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)\,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}^*},a \in \mathbb{R}$$
Thử lại thấy đúng.