Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức cực khó đây.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tarence tao 1995

tarence tao 1995

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

Đã gửi 26-05-2011 - 11:29

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh:
$\dfrac{4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}-1 \geq \dfrac{c+b-a}{a}+\dfrac{c+a-b}{b}+\dfrac{a+b-c}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 26-05-2011 - 12:19


#2 truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trúc Lâm

Đã gửi 26-05-2011 - 12:30

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh:
$\dfrac{4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}-1 \geq \dfrac{c+b-a}{a}+\dfrac{c+a-b}{b}+\dfrac{a+b-c}{c}$


biến đổi tương đương:

$\begin{array}{l}\dfrac{{4abc}}{{\prod {(a + b - c)} }} - 1 \ge \sum {\dfrac{{a + b - c}}{c}} \\\\\Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {2abc - 2\prod {(a + b - c)} } \right)}}{{\prod {(a + b - c)} }} \ge \sum {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2} \right)} \\\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {\sum {{{(a - b)}^2}(a + b - c)} } \right)}}{{\prod {(a + b - c)} }} \ge \sum {\dfrac{{{{(a - b)}^2}}}{{ab}}} \\\\\Leftrightarrow \sum {\dfrac{{2{{(a - b)}^2}}}{{(a + c - b)(b + c - a)}}} \ge \sum {\dfrac{{{{(a - b)}^2}}}{{ab}}} \\\\ \Leftrightarrow \sum {{{(a - b)}^2}\left( {\dfrac{2}{{(a + c - b)(b + c - a)}} - \dfrac{1}{{ab}}} \right)} \ge 0\\\\\Leftrightarrow \sum {{{(a - b)}^2}\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{ab(a + c - b)(b + c - a)}}} \right)} \ge 0\end{array}$

giả sử :

a :in b :in c

đặt:

$\begin{array}{l}{S_a} = \dfrac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{bc(a + b - c)(a + c - b)}};\\\\{S_b} = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{ac(a + b - c)(b + c - a)}};\\\\{S_c} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{ab(b + c - a)(a + c - b)}};\\\\\Rightarrow {S_b} \ge 0\\\\{(a - c)^2} = {(a - b + b - c)^2} = {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + 2(a - b)(b - c) \ge {(a - b)^2} + {(b - c)^2}\\\\ \Rightarrow \sum {{S_c}{{(a - b)}^2} \ge ({S_b} + } {S_c}){(a - b)^2} + ({S_a} + {S_b}){(b - c)^2}\end{array}$

${S_b} + {S_c} \ge 0$ ( vì a :Rightarrow b :Rightarrow c )

${S_a} + {S_b} \ge 0$

( chứng minh dễ dàng bằng việc quy đ�ồng ,khai triển và sử dụng giả thiết :a :vdots b :vdots c)

vậy ta có dpcm.. :Rightarrow :Rightarrow :Rightarrow :Rightarrow

P/S : hi vọng có cách giải ngắn gọn hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 26-05-2011 - 13:05


#3 SLNA

SLNA

    Bảo Duyên

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghe An province

Đã gửi 26-05-2011 - 16:51

Đặt $a+b-c=z, c+b-a=z, a+c-b=y$, $x, y, z> 0$
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{2xyz}\geq 1+\dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y}$

#4 truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trúc Lâm

Đã gửi 26-05-2011 - 20:09

Đặt $a+b-c=z, c+b-a=z, a+c-b=y$, $x, y, z> 0$
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{2xyz}\geq 1+\dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y}$


đề nghị bạn nêu rõ cách giải để mọi người tham khảo

bạn giải quá ngắn gọn :vdots :vdots :in :in

#5 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 26-05-2011 - 22:09

@@ híc: SLNA mới có chuyển BDT về dạng đơn giản hơn thôi mà.

Để mình thử chém coi nha:

Biến đổi tương đương, phân tích S.O.S:'

$\textup{BDt} \Leftrightarrow \sum{\dfrac{(y-z)^2}{2yz} \ge \sum{\dfrac{(y-z)^2}{(x+y)(x+z)}} \\ .\\ \Leftrightarrow \sum{(y-z)^2.\left(\dfrac{x.\left(x+y+z\right)-yz}{yz}}\right) \ge 0$

Dùng đánh giá S.O.S

Giả sử $x \ge y \ge z thì dễ thấy S_c, S_b \ge 0.$ ta chỉ cần chứng minh: $S_a + S+b \ge 0$ là đủ.

Thật vậy:

$S_a + S+b = \dfrac{x.\left(x+y+z\right)-yz}{yz} + \dfrac{y.\left(x+y+z\right)-zx}{zx} \\. \\ \Leftrightarrow x^2(x+y+z) + y^2(x+y+z) \ge 2xyz$ (đúng!)

Vậy ta có đpcm!

rongden_167


#6 h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C1 - k49 - PĐL
  • Sở thích:MATHEMATICS

Đã gửi 26-05-2011 - 22:15

híc, chán thật, có lời giải đơn giản thế này mà không nghĩ ra:

Cách 2:

Biến đổi tí:

$\textup{BDt} \Leftrightarrow \dfrac{\sum{xy(x+y)}}{2xyz} \ge \sum{\dfrac{2x}{y+z}} \\.\\ \Leftrightarrow \sum{\dfrac{x+y}{z}} \ge 4\sum{\dfrac{x}{y+z}}$

BDT này thì quá quen thuộc + đơn giản rồi:

Áp dụng BDT quen thuộc: $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} \ge \dfrac{4}{m+n}$ ta có:

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{x}{z} \ge \dfrac{4x}{y+z}$

làm tương tự rồi cộng lại ta có ngay dpcm!

rongden_167





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh