Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức cực khó đây.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
tarence tao 1995

tarence tao 1995

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh:
$\dfrac{4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}-1 \geq \dfrac{c+b-a}{a}+\dfrac{c+a-b}{b}+\dfrac{a+b-c}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 26-05-2011 - 12:19


#2
truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh:
$\dfrac{4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}-1 \geq \dfrac{c+b-a}{a}+\dfrac{c+a-b}{b}+\dfrac{a+b-c}{c}$


biến đổi tương đương:

$\begin{array}{l}\dfrac{{4abc}}{{\prod {(a + b - c)} }} - 1 \ge \sum {\dfrac{{a + b - c}}{c}} \\\\\Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {2abc - 2\prod {(a + b - c)} } \right)}}{{\prod {(a + b - c)} }} \ge \sum {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2} \right)} \\\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {\sum {{{(a - b)}^2}(a + b - c)} } \right)}}{{\prod {(a + b - c)} }} \ge \sum {\dfrac{{{{(a - b)}^2}}}{{ab}}} \\\\\Leftrightarrow \sum {\dfrac{{2{{(a - b)}^2}}}{{(a + c - b)(b + c - a)}}} \ge \sum {\dfrac{{{{(a - b)}^2}}}{{ab}}} \\\\ \Leftrightarrow \sum {{{(a - b)}^2}\left( {\dfrac{2}{{(a + c - b)(b + c - a)}} - \dfrac{1}{{ab}}} \right)} \ge 0\\\\\Leftrightarrow \sum {{{(a - b)}^2}\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{ab(a + c - b)(b + c - a)}}} \right)} \ge 0\end{array}$

giả sử :

a :in b :in c

đặt:

$\begin{array}{l}{S_a} = \dfrac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{bc(a + b - c)(a + c - b)}};\\\\{S_b} = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{ac(a + b - c)(b + c - a)}};\\\\{S_c} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{ab(b + c - a)(a + c - b)}};\\\\\Rightarrow {S_b} \ge 0\\\\{(a - c)^2} = {(a - b + b - c)^2} = {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + 2(a - b)(b - c) \ge {(a - b)^2} + {(b - c)^2}\\\\ \Rightarrow \sum {{S_c}{{(a - b)}^2} \ge ({S_b} + } {S_c}){(a - b)^2} + ({S_a} + {S_b}){(b - c)^2}\end{array}$

${S_b} + {S_c} \ge 0$ ( vì a :Rightarrow b :Rightarrow c )

${S_a} + {S_b} \ge 0$

( chứng minh dễ dàng bằng việc quy đ�ồng ,khai triển và sử dụng giả thiết :a :vdots b :vdots c)

vậy ta có dpcm.. :Rightarrow :Rightarrow :Rightarrow :Rightarrow

P/S : hi vọng có cách giải ngắn gọn hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 26-05-2011 - 13:05


#3
SLNA

SLNA

    Bảo Duyên

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Đặt $a+b-c=z, c+b-a=z, a+c-b=y$, $x, y, z> 0$
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{2xyz}\geq 1+\dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y}$

#4
truclamyentu

truclamyentu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 333 Bài viết

Đặt $a+b-c=z, c+b-a=z, a+c-b=y$, $x, y, z> 0$
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{2xyz}\geq 1+\dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y}$


đề nghị bạn nêu rõ cách giải để mọi người tham khảo

bạn giải quá ngắn gọn :vdots :vdots :in :in

#5
h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
@@ híc: SLNA mới có chuyển BDT về dạng đơn giản hơn thôi mà.

Để mình thử chém coi nha:

Biến đổi tương đương, phân tích S.O.S:'

$\textup{BDt} \Leftrightarrow \sum{\dfrac{(y-z)^2}{2yz} \ge \sum{\dfrac{(y-z)^2}{(x+y)(x+z)}} \\ .\\ \Leftrightarrow \sum{(y-z)^2.\left(\dfrac{x.\left(x+y+z\right)-yz}{yz}}\right) \ge 0$

Dùng đánh giá S.O.S

Giả sử $x \ge y \ge z thì dễ thấy S_c, S_b \ge 0.$ ta chỉ cần chứng minh: $S_a + S+b \ge 0$ là đủ.

Thật vậy:

$S_a + S+b = \dfrac{x.\left(x+y+z\right)-yz}{yz} + \dfrac{y.\left(x+y+z\right)-zx}{zx} \\. \\ \Leftrightarrow x^2(x+y+z) + y^2(x+y+z) \ge 2xyz$ (đúng!)

Vậy ta có đpcm!

rongden_167


#6
h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
híc, chán thật, có lời giải đơn giản thế này mà không nghĩ ra:

Cách 2:

Biến đổi tí:

$\textup{BDt} \Leftrightarrow \dfrac{\sum{xy(x+y)}}{2xyz} \ge \sum{\dfrac{2x}{y+z}} \\.\\ \Leftrightarrow \sum{\dfrac{x+y}{z}} \ge 4\sum{\dfrac{x}{y+z}}$

BDT này thì quá quen thuộc + đơn giản rồi:

Áp dụng BDT quen thuộc: $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} \ge \dfrac{4}{m+n}$ ta có:

$\dfrac{x}{y} + \dfrac{x}{z} \ge \dfrac{4x}{y+z}$

làm tương tự rồi cộng lại ta có ngay dpcm!

rongden_167





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh