Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 27-05-2011 - 20:53

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 07-06-2013 - 21:58

"God made the integers, all else is the work of men"


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-06-2013 - 22:10

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng  @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 10/6 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1534 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 20-10-2013 - 16:07

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

Cho em mạn phép hỏi ý tác giả ở chỗ tổng kia là $nlog(n)(-1)^{n}$ là có ý gì , chỉ cơ số $10$ hay là ntn , làm em nhầm lẫn 


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 13-11-2013 - 19:48

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

Giải:

 

Đặt  $U_N=\sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}$

 

Xét hiệu:

 

$U_{N+1}-U_{N}=\left ( -1 \right )^{N+1}\left ( N+1 \right )\log\left ( N+1 \right )\prod_{k=2}^{N+1}\frac{\alpha+k\log k}{\beta+(k+1)\log (k+1)}$

 

$U_{N+2}-U_{N+1}=\left ( -1 \right )^{N+2}\left ( N+2 \right )\log\left ( N+2 \right )\prod_{k=2}^{N+2}\frac{\alpha+k\log k}{\beta+(k+1)\log (k+1)}$

 

$\Rightarrow \frac{U_{N+2}-U_{N+1}}{U_{N+1}-U_N}=-\frac{N+2}{N+1}\: \log_{N+1}\left ( N+2 \right )\: \frac{\alpha +(N+2)\log (N+2)}{\beta+(N+3)\log(N+3)}=\lambda$ $\Leftrightarrow U_{N+2}-(\lambda+1)U_{N+1}+\lambda U_{N}=0$

 

Dễ dàng tính được $\lim_{N\to +\infty} \lambda=-1$

 

Xét phương trình đặc trưng $X^2-(\lambda+1)X+\lambda=0\Rightarrow \Delta=\left ( 1+\lambda \right )^2-4\lambda=\left ( 1-\lambda \right )^2$

 

Phương trình có 2 nghiệm $\left[\begin{matrix}X_1=\lambda\\X_2=1 \end{matrix}\right.$

 

Dãy có dạng  $U_{N}=C_1X_1^N+C_2X_2^N=C_1\lambda^N+C_2$

 

Mà $U_{2}=2\log2\: \frac{\alpha+2\log2}{\beta+3\log3}=a,\:U_{3}=a -3\log3\: \frac{\alpha+2\log2}{\beta+3\log3}\: \frac{\alpha+3\log3}{\beta+4\log4}=a+b$

 

$\Rightarrow U_{N}=\frac{-b}{1-\lambda} \:\lambda^{N-2}+\frac{a+b-a\lambda}{1-\lambda}$

 

Vì $\lim_{N\to +\infty}\lambda=-1$ nên từ đó suy ra không tồn tại $\lim_{N\to +\infty} U_{N}$

 

P/s: Ham vui thôi! Có gì sai sót mong mọi người chỉ ạ!


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh