Chủ đề này có 23 trả lời

[quantum-cohomology]

Linear geometry of C
1. Real structure on C:
1 dieu can nen biet ve cau truc so thuc tren truong so phuc do la C-antilinear involution http://dientuvietnam...imetex.cgi?S^1. 1 element cua circle group: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\theta. Chung ta identify C voi http://dientuvietnam...imetex.cgi?R^2. Representation cua angle http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\theta duoc viet duoi dang http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 la 1 smooth map http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 chung ta viet http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?v_0.
4. Linear mapping:
Cho 1 khong gian vector phuc V, goi T : V → V la 1 endomorphism. Tap hop cac endomorphism ta ky hieu la http://dientuvietnam...tex.cgi?End_R(V)^{-} la khong gian cua cac C-antilinear maps.
Dinh ly quan trong: Anh xa R-linear sau la` 1 Isomorphism:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 09-08-2005 - 17:45

[quantum-cohomology]

Elementary analysis on domain in C
Fundamental lemma and Taylor series
Goi D la` 1 open set in C, f la 1 ham so tu D vao C, f = u + iv, la 1 http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^{\infty}-function. 1 Dinh ly co ban cua ham phuc duoc phat bieu nhu sau: Cho 1 ham tron nhan gia tri phuc ( smooth complex valued function ) http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_i dinh nghia tren mien lan can (Neighborhood) cua p sao cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f ~ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i in the sense ( theo nghia) http://dientuvietnam...mimetex.cgi?dt.
Dinh nghia toan tu vi phan ( differential operator) http://dientuvietnam...metex.cgi?C^1(D) la Dai so cac vector fields tren mien D.
Ta nhan duoc dinh ly quan trong sau: Neu C la 1 duong cong dinh huong (oriented curve) trong D, va f la 1 ham tron (smooth) vay thi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p_0 va ket thuc tai http://dientuvietnam...imetex.cgi?p_1.
Trong truong hop complex 1-Form, toan tu vi phan duoc dinh nghia thong qua *.

[quantum-cohomology]

Integration over open sets
Gia su rang chung ta co 1 cap (v,w) tangent vectors tai 1 diem trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2, va no' spann 1 oriented parallelogram, dien tich' (area) cua hinh nay` duoc xac dinh boi det(v,w) = dx ^ dy (v,w) , trong do dx ^ dy = a la phan ao' ( imaginary part) cua standard hermitian structure duoc dinh nghia tren C ( xem bai truoc ve dinh nghia cua standard hermitian structure). Boi vay ta co the xem real 2-Form tren 1 domain cua C la http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?dy, trong do f la 1 ham thuc tron (smooth real valued function). Ap dung dang 2-vi phan vao pair (v,w) tangent vectors ta thu duoc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega(p) (v,w) = f(p) det(v,w). Toan tu vi phan , trong do lan luot la Algebra cua dang 1-vi phan va dang 2-vi phan. Toan tu vi phan nay duoc dinh nghia thong qua ^^ ^ ^ ^ . Tuong tu nhu truong hop giai tich thuc, version cua cac ham phuc duoc dinh nghia boi cong thuc sau * ^ *. Tu do suy ra dx ^ dy = ^ *. Neu D la 1 domain trong C va :omega la 1 complex 2-form voi compact support tuc la :omega = f dz ^ dz* va f la ham co compact support trong D, vay thi ^ , trong do tich phan ben tay phai la tich phan Riemann theo dinh nghia thong thuong.

Holomorphic functions : Cho D la 1 domain trong mat phang phuc C. 1 ham so f: D → C duoc goi la holomorphic tren D neu va chi neu . Tuong tu nhu the 1 dang 1-Form :omega duoc goi la holomorphic neu :omega = fdz va f la holomorphic. Tap hop cac ham holomorphic tren D duoc ky hieu boi O(D), va tap hop cac holomorphic 1-Form duoc ky hieu boi . Chu y rang fdz la holomorphic neu va chi neu no 1 dang dong' ( closed form).

1 tinh chat quan trong do la Homotopy invariance cho 1 closed curve trong 1 domain D cua mat phang phuc C, no duoc phat bieu nhu sau neu f dz = :omega va la homotopic curves trong D vay thi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 11-08-2005 - 18:25

[Doraemon]

Holomorphic ở quê nhà dịch là chỉnh hình.
Còn một cách hiểu nữa cho hàm chỉnh hình là:
Hàm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f được gọi là chỉnh hình tại http://dientuvietnam...metex.cgi?z_{0} nếu nó là http://dientuvietnam...metex.cgi?C-khả vi trong một lân cận nào đó của http://dientuvietnam...etex.cgi?z_{0}.

Hàm http://dientuvietnam...metex.cgi?C-khả vi ? Là hàm http://dientuvietnam...tex.cgi?R^2-khả vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann của các đạo hàm riêng là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=-\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}.
với http://dientuvietnam...metex.cgi?f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)
Tương đương với định nghĩa trên của QC thế nhưng định nghĩa mà QC nêu ra vẫn sâu hơn. Ai có thể nêu ra điều thú vị này?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 11-08-2005 - 19:46

[quantum-cohomology]

Từ hệ phương trình Cauchy-Riemann

[LHTung]

Tương đương với định nghĩa trên của QC thế nhưng định nghĩa mà QC nêu ra vẫn sâu hơn

Mình không thấy 2 đn này khác nhau mấy vì cả hai đn đều là đn theo Riemann .

Còn một đn khác , tinh tế hơn , là đn của Weierstrass như sau : Hàm f chỉnh hình tại z nếu trong 1 lân cận của z , f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa tâm là z . Nói tinh tế hơn là vì trong trường hợp phức , nó trùng với các đn trên nhưng nó có thể đn cho cả trường hợp thực nữa . Vì thế người ta có thể xét các hàm giải tích thực tuy rằng về tầm quan trọng thì trường hợp phức quan trọng hơn hẳn .

[quantum-cohomology]

LHTung nhận xét rất hay, cái định nghĩa của Weierstraß chính là Fundamental Lemma mà mình phát biểu trong bài Elementary analysis on domain in C. Đây mới chính là 1 định nghĩa sâu xắc và quan trọng của hàm holomorphic. Rất cám ơn lời nhận xét của LHTung

[quantum-cohomology]

Basic example of homotopy invariance Gọi = http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma trong nullhomotopic, nếu ( đại số các hàm holomorphic) thì .
theorem (được hiểu như là Cauchy integral formula) trong trường hợp disk nói trên) : Nếu f là 1 hàm holomorphic trong 1 miền lân cận của vậy thì .

Power series: Nếu f holomorphic trong 1 miền lân cận của disk nói trên vậy thì có thể viết công thức tích phân Cauchy dưới dạng .
Chú ý rằng:
Từ đó ta thu được 1 chuỗi lũy thừa hội tụ đều ( uniformly convergent series) . Do chuỗi trên là hội tụ đều nên ta có thể giao hoán phép tính tích phân và limiting từ đó nhận được dạng khai triển của .

Trên thực tế như LHTung đã nói, tính chất quan trọng mà người ta có thể mô tả holomorphic functions là như sau: 1 hàm trơn f trên 1 domain D trong mặt phẳng phức được gọi là holomorphic nếu và chỉ nếu đối với mọi hàm đó có thể khai triển dưới dạng chuỗi , chuỗi này hội tụ tuyệt đối, đều trên mọi disk .
Thông qua định nghĩa và theorem nói trên người ta tính được Derivative của hàm holomorphic như sau ( xét hàm holomorphic chỉ phụ thuộc vào biến z ) .

Bây giờ tôi xin phép tóm tắt 1 định lý quan trọng cũng như hệ quả của nó về Open mapping theorem
OPEN MAPPING THEOREM: Cho D là 1 connected open set trong mặt phẳng phức, vậy thì 1 hàm nonconstant holomorphic f là 1 ánh xạ mở (open mapping) f : D --> C.
Hệ quả: Ảnh của 1 hàm nonconstant holomorphic không được chứa trong 1 đường cong thực. Trên thực tế, hàm nonconstant holomorphic không nhận giá trị thực.

[Doraemon]

Thực ra 2 định nghĩa là tương đương vì từ phương trình toán tử vi phân, ta có thể suy ra công thức Cauchy-Riemann hay ngược lại.
Thế nhưng tác dụng của C-R chỉ là để xem xét điều kiện đủ để hàm có chỉnh hình hay không?
Còn đn mà QC đưa ra , ta có thể thấy được cấu tạo của một lớp ánh xạ quan trọng đó là ánh xạ bảo giác. Hơn nữa trong nhiều tính toán của phương trình toán tử phải dùng đn mà QC đưa ra.
Thế mới biết, đn hàm chỉnh hình theo pt Cauchy-Riemann thực tế đã xuất hiện trong các công trình của Euler và Đalambe trước đó. Lúc ấy người ta chưa có những khái niệm rõ ràng về tính chỉnh hình như của Cauchy-Riemann mà chỉ tìm hiểu hàm phức thông qua các hàm thực.
Định nghĩa của Weierstrass thì phải nói là tiện dụng hơn theo như LHTung. Còn điểm tinh tế hơn theo mình là thấy được rằng dùng chuỗi số thì có thể khảo sát được tính chỉnh hình của hàm phức tại một điểm, -->công cụ chuỗi rất mạnh. Nhưng nhược điểm của đn này là không thấy được sự khác nhau giữa http://dientuvietnam...tex.cgi?R^2-khả vi và http://dientuvietnam...metex.cgi?C-khả vi mà phải thông qua pt C-R!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 18-08-2005 - 10:50

[quantum-cohomology]

Minh co vai bai tap hay hay post len moi cac ban cung giai'
1. Co' the' su dung tinh chat nao cua' holomorphicity de cmr Dai so cac ham holomorph O(X) la connected, trong do X la 1 Riemann surface.
2. Cho X la 1 compact Riemann surface, f la 1 meromorphic function, which has only one pole and that being of order 1. CMR X la biholomorph voi http://dientuvietnam...metex.cgi?CP^1.
3. Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi la 1 proper mapping. Tu do hay suy ra rang 1 biholomorph map duoc extend to a biholomorph map with

Cac ban co thac mac cho nao ve de bai thi cu hoi. Day la 1 so bai tap kha don gian, co ban' cua giai tich phuc + topo.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 18-08-2005 - 20:31

[quantum-cohomology]

híc híc sao không ai thèm giải thế này? Chê bài dễ quá à?

[hoadaica]

biết dể mà cũng gửi lên,hìhì, rồi lại than không ai giải, hì hì.
tớ thích đưa ra đề chứ không thích giải,hìhì. Với lại cũng quên hết rồi, giờ đang chơi ở VN nên không có hứng đọc lại,hìhì

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoadaica: 24-08-2005 - 10:54

[quantum-cohomology]

biết dể mà cũng gửi lên,hìhì, rồi lại than không ai giải, hì hì.

Vay thi Hoadaica giai' tuong` minh 1 bai` di, please. Tinh trang la khong ai them` tham gia. Cho du` la`bai` de di chang nua, nhung quan trong la co' nhieu y' tuong' Toan hoc nam` trong bai` tap. 1 bai tap neu chi' de' giai' 1 cach' tron ven thi khong goi la bai tap hay, ma cai quan trong la no' goi mo' sang nhieu huong' suy nghi khac. Trong bai tap tren http://dientuvietnam...imetex.cgi?CP^1 tuy rat don gian, nhung no' dong vai tro` co ban' trong complex manifold ( Tuy rang chi la 1-dimensional). To se post tiep vai bai lien quan den Flag manifold.

[quantum-cohomology]

Tiếp tục với giải tích phức qua con mắt nhìn nhận bằng hình học. Cho D là 1 domain trong mặt phẳng phức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}. Ký hiệu đại số các hàm trơn trong trường hợp phức là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}-linear trên 1 tangent space http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}-valued foms và nhóm Cohomology tương ứng .
Bài tập: Cmr class là 1 generator cùa cohomology của
---------
tương tự ta có Dolbeault complex trong đó là đại số các hàm trơn, là không gian các (0,1)- forms nó có dạng . Từ đó người ta định nghĩa nhóm Dolbeault cohomology như sau . Trên thực tế bằng tính toán người ta chỉ ra Dolbeaut cohomology là trivial nếu D là 1 domain trong mặt phẳng phức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 23-08-2005 - 21:15

[LHTung]

Tạm dừng ddd lại . Các bác có hứng thú với vấn đề xấp xỉ và mở rộng các hàm chỉnh hình thi post vài bài về miền Runge và các đa diện đa thức nhé . Mình vừa đọc cái này và thấy nó hơi phức tạp . Chẳng hạn miền Runge , trong trường hợp một chiều nó mang bản chất topo thuần túy nhưng lên nhiều chiều thì tình hình khác hẳn , các hạn chế mang bản chất giải tích rất rõ ràng . Vậy điều gì gây nên sự khác biệt như vậy ?

[hoadaica]

không biết QC đã luyện đến mục tính tích phân của hàm thực thông qua hàm phức chưa nhỉ?

[quantum-cohomology]

Cụ thể là hoadaica muốn tính tích phân nào thế? Về runge domain thì mình cũng thấy khó, bác nào chịu khó post bài giảng giải anh em 1 cái.
Bài tập:
Cho Z là 1 đa tạp phức compact liên thông, U là 1 miền mở của Z đồng phôi (homeomorphic) với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^n, cmr .

[hoadaica]

tich phan tren dien Riemann ay ma. QC co the gioi thieu mot it ve cac huong nghien cuu ben Duc trong linh vuc operator algebras khong. Ben minh cu lam may cai measures, states tren algebra von neumann chan den tan co.
Cho y kien!

[quantum-cohomology]

Mình không theo operator nên chả biết gì cả, nhưng có lẽ ở Đức thì Münster khá mạnh về phần này, chắc xung quanh elliptic operator, KK-theory, C*-Algebra, Index theory,... cậu cứ làm độ đo cũng ok rồi còn gì, có gì mà than vãn chán với nản. Ngành nào cũng hay, đi sâu vào mới thấy khó.

[Kakalotta]

Thằng này có vấn đề. Đại số Vonnewman hay như thế còn chê. Học đại số Vonnewman để đi vào bất biến Jones là số 1, sau đó vòng sang hình học lượng tử. Bên mình mọi người toàn thế.