Chủ đề này có 4 trả lời

[SLNA]

Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \dfrac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{a^2+b+c}}\leq \sqrt{3}$

[SLNA]

Làm luôn vậy
Ta cần chứng minh:
$\sqrt{a}\sqrt{a+ab+ac}+\sqrt{b}\sqrt{b+ab+cb}+\sqrt{c}\sqrt{c+ac+bc}\leq \sqrt{3}(a+b+c)$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bất đẳng thức trên được viết lại là $ab+ac+bc\leq a+b+c$
Ta có $ab+ac+bc\leq a+b+c\Leftrightarrow (a+b+c)^2\leq 2a+2b+2c+3$
Đúng do $a+b+c\leq a^2+b^2+c^2=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SLNA: 30-05-2011 - 15:36

[alex_hoang]

Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \dfrac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{a^2+b+c}}\leq \sqrt{3}$

giải
sử dụng BĐT cauchy schwarz
$({a^2} + b + c)(1 + b + c) \ge {(a + b + c)^2}$
áp dụng cauchy schwarz 1 lần nữa ta dc
$\dfrac{{a\sqrt {1 + b + c} + b\sqrt {1 + c + a} + c\sqrt {1 + a + b} }}{{a + b + c}} \le \sqrt 3 $
$VT = \dfrac{{\sqrt a \sqrt {a(1 + b + c)} + \sqrt b \sqrt {b(1 + c + a)} + \sqrt c \sqrt {c(1 + a + b)} }}{{a + b + c}} \le \dfrac{{\sqrt {(a + b + c)(a(1 + b + c) + b(1 + c + a) + c(1 + a + b))} }}{{a + b + c}} = \sqrt {1 + \dfrac{{2(ab + bc + ca)}}{{a + b + c}}} \le \sqrt {1 + \dfrac{{2(a + b + c)}}{3}} \le \sqrt 3 $
vậy ta có đpcm

[SLNA]

Bài này là Ukraine 2008

[hathu2607]

Bạn dùng Bunhia cho 3 số đi.Nhân 1 vào $b$ và $c$ để Côsi cho 2 số,sau đó thay dữ kiện bài ra.chia đa thức,áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=9$ là được.

@dark templar:Mình nhắc nhở bạn là lần sau nhớ trình bày rõ ràng lời giải của mình nhé.Thân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-06-2011 - 18:35
Gõ Latex+tiếng Việt có dấu