Phương trình của diễn đàn toán học
#21
Đã gửi 15-06-2011 - 22:04
Ta đặt vế trái là A
Từ đề bài ta có
$x^3 - 4x^2 - 5x + 6 +(7x^2 + 9x - 4)=A^3+ A$
$(x+1)^3+(x+1)=A^3+ A$
Tới đây làm như bạn zone .hihi
Chúng ta hãy cũng xây dựng topic này càng lớn mạnh ........
#22
Đã gửi 15-06-2011 - 22:13
Bài 7
$\left\{\begin{array}{l}x^3+3xy^2=-49\\x^2-8xy+y^2=8y-17x\end{array}\right.$
Bài 8:
$16x^4+5=6\sqrt[3]{4x^3+x}$
Các anh chị hãy vô đây cùng giải ..........hi hi công nhận mọi người ở đây pro thiệt
#23
Đã gửi 16-06-2011 - 09:17
Vấn đề về ý tưởng đã rõ, còn lại là tìm nghiệm của nó nhằm thuận lợi trong đánh giá BDT.
Ta đoán được nghiệm $x = \dfrac{1}{2}.$
Bài giải: $\textup{pt} \Rightarrow rm{VP} > 0 \Rightarrow x > 0.$ ( cần trong dùng AM-GM )
Áp dụng BDT Cô-si ( chọn hệ só thích hợp với đẳng thức tại x = 0,5), ta óc:
$rm{ VP} = 3.\sqrt[3]{2.4x.(4x^2+1)} \le 4x^2+4x+3$
Vấn đè còn lại là Chứng minh:
$16x^4+5 \ge (2x+1)^2 + 2 \Leftrightarrow 16x^4+2 \ge 4x^2+4x.$
Thật vậy, lại theo BDT Cô-si ta có:
$16x^4+1+1 \ge 8x^2+1 \ge 4x^2+4x \to \textup{dpcm!}$
Thử thấy $x = \dfrac{1}{2}$ đúng là nghiệm nên kết luận đó là nghiệm duy nhất !
rongden_167
#24
Đã gửi 16-06-2011 - 09:30
Mình giải tiếp: $b-a = \sqrt[3]{4}$, vì dạng này có cái thế khá hay
$\Rightarrow \sqrt[3]{x+2} -\sqrt[3]{x+1} = \sqrt[3]{4} \Rightarrow (x+2)-(x+1) -3\sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{x+1}.\sqrt[3]{x+2} = 4 \\.\\\Rightarrow \sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{x+1}.\sqrt[3]{x+2} =-1 \Leftrightarrow 4(x+1)(x+2) = -1.$
Đến đây thì bài toán thực sự được giải quyết trọn vẹn
Riêng với bài 5, mình thấy cách đặt này khác hay và thú vị, hi vọng chũng ta có thêm nhiều bài tập vè dạng này để nghien cứu, cho ra phương pháp chứ không đơn thuần là mò tìm hay may mắn.
p/s: ai đã có hướng đi khá tự nhiên + tổng quát cho dạng này thì post bài + pm nha !
rongden_167
#25
Đã gửi 17-06-2011 - 09:56
Tìm a để pt sau có nghiệm:
$x^3+3x^2-1=a( \sqrt{x}-\sqrt{x-1})^3 $
#26
Đã gửi 17-06-2011 - 10:21
Khi đó: $\sqrt{x} + \sqrt{x-1} > 0$ . Nhân liên hợp với lượng này ta có phương trình tương đương:
$\textup{pt} \Leftrightarrow \left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^3\left(x^3+3x^2-1\right) = a$
xét: $f(x) = \left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^3\left(x^3+3x^2-1\right)$
Tính:
$f'(x) = \left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^3\left(3x^3+6x\right) + 3\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^2\left(x^3+3x^2-1\right).\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} > 0 $
với mọi $x \ge 1.$
Như vậy hàm $f(x)$ đồng biến. Thế nen để phương trình có nghiệm thì :
$a \ge \min_{f(x)} = f(1) = 3.$
Vậy điều kienj của $a$ là $a \ge 3$
rongden_167
#27
Đã gửi 17-06-2011 - 12:09
Bài 10:Giải PT
$ 3-x + \sqrt[3]{4-x}=\sqrt{3+x} +\sqrt[3]{1+\sqrt{3+x}}$
#28
Đã gửi 17-06-2011 - 14:54
Đăt $ 3-x =a; \sqrt {3+x} =b (b\geq 0 ) $ Ta có hệ:Tiếp tục một bài nữa :
Bài 10:Giải PT
$ 3-x + \sqrt[3]{4-x}=\sqrt{3+x} +\sqrt[3]{1+\sqrt{3+x}}$
$ \left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt [3]{1+a}=b+\sqrt[3]{1+b}(1)}\\{a+b^2=6(2)}\end{array}\right. $
$ (1) \lefftrightarrow (a-b)[1+\dfrac{1}{(\sqrt [3]{1+a})^2+\sqrt [3]{(1+a)(1+b)} +(\sqrt [3]{1+b})^2 }]=0 $
$ \leftrightarrow a=b $
Thay a=b vào (2) ta có phương trình :
$ b^2+b-6 =0 $ =>2 nghiệm $ (a;b) = (2;2) $ hoặc $ (a;b)=(-3;-3) $(loại vì $ b\geq 0 $ ) Dẫn đếnhệ :
$ \left\{\begin{array}{l}{3-x=2}\\{\sqrt{3+x}=2}\end{array}\right. \leftrightarrow x=1 $
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#29
Đã gửi 19-06-2011 - 07:30
Bài 11:
$ x +\sqrt {x^2-4}=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})-2$
P/s : Có gì sai mọi người cứ nói nha.
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
#30
Đã gửi 19-06-2011 - 08:00
$ x +\sqrt {x^2-4}=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})-2$ (đặt đk nhé!!!!!!!!)Tiếp tục với 1 bài mình vừa chế nha !
Bài 11:
$ x +\sqrt {x^2-4}=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})-2$
$ x + 2 +\sqrt {x^2-4}=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})$
$ \sqrt{x+2} .(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})= 2(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})$
$ \sqrt{x+2} = 2$ ( vì tổng 2 cái căn ấy luôn dương)
x=2
#31
Đã gửi 19-06-2011 - 12:29
Bài 11: ĐK $ x \ge 2 $
Ta có :$ x +\sqrt{x^2-4}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})-2 \\ \Leftrightarrow x+2+2\sqrt{x^2-4} + x-2 = 4(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})-4 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})^2 - 4(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})+4=0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=2 \\ \Leftrightarrow x=2 $ (Ta bình phương 2 vế và tìm x bình thường)
Mình xin đóng góp tiếp các bài PT khá hay sau :
Bài 12: Giải PT$ \sqrt[3]{x^2-x^3}=\sqrt{2-x^3}$
Bài 13: Giải PT$ \sqrt{1-x^2}=(\dfrac{2}{3}-\sqrt{x})^2$
Bài 14: Giải PT$ \dfrac{36}{\sqrt{x-2}}+\dfrac{36}{\sqrt{y-1}}= 28-4\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}$
- PolarBear154 yêu thích
#32
Đã gửi 19-06-2011 - 13:33
quả thực thấy GHEN TỴ!
hihi. caubeyeutoan kiếm đâu nhiều bài hay thế!
Mình xin góp vài bài, mong mọi người ủng hộ:
Bài 15:
$\begin{array}{l}a){({x^2} + 6x)^2} + 36{x^2} = 28{(x + 6)^2}\\b)2{x^2} + 5x - 1 = 7\sqrt {{x^3} - 1} \end{array}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-06-2011 - 17:38
- PolarBear154 yêu thích
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#33
Đã gửi 19-06-2011 - 16:42
Ta có :ĐK $ x \ge 1$
PT tương đương:$2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1} \Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$
Vì x=1 không phải là nghiệm nên chia 2 vế cho x-1>0 ta có :
$ 3+2\dfrac{x^2+x+1}{x-1}=7\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}$(3)
Đặt $ t = \sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}} \Rightarrow x^2+(1-t^2)x+1+t^2=0$
Vậy ĐK để xác định t là $ \begin{cases} t\ge 0 \\ t^4-6t^2-3 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow t \ge \sqrt{3+2\sqrt{3}}$
Với cách đặt này PT(3) trở thành $ 2t^2-7t+3=0 \Leftrightarrow t \in (3;\dfrac{1}{2})$
Ta so với ĐK và nhận t=3 , vậy $ \sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=3$ , Giải PT này và so ĐK ta tìm được x
Kết luận $ x=4+\sqrt{6};x=4-\sqrt{6}$
P/s: Cám ơn vietfrog nhé, nếu có bài PT nào hay bạn cứ post lên cho mọi người cùng bàn luận , nhưng nhớ đánh số bài nha bạn để tiện theo dõi
#34
Đã gửi 19-06-2011 - 16:55
Mình chỉ làm được câu này thôi!!!!!!!!!!$b)2{x^2} + 5x - 1 = 7\sqrt {{x^3} - 1} $ (1)
(1) $ 2(x^2 +x +1) +3(x -1) = 7\sqrt {{x^3} - 1} $ (2)
Đặt $a=(x^2 +x +1), b= x -1 $
(2) $ 2a + 3b = 7\sqrt{ab} $
$ (2\sqrt{a} - \sqrt{b} )( \sqrt{a} - 3 \sqrt{b} ) = 0 $
Rồi xong!!!!!!!!
#35
Đã gửi 19-06-2011 - 17:33
Áp dụng BDT Cô-si, ta đánh giá không chặt:
$\dfrac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2} \ge 2\sqrt{4.36} = 24$
$\dfrac{36}{\sqrt{y-1}} + \sqrt{y-1} \ge 2.6 = 12$
Như vậy là phương trình vô nghiệm ak
- PolarBear154 yêu thích
rongden_167
#36
Đã gửi 19-06-2011 - 17:37
Phần a ý tưởng làm rất lạ.Hi.
Một bài khác ý tưởng tương tự nhưng đơn giản hơn nhiều :
Bai 16:
${x^2} + \dfrac{{x{}^2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1$
(Đừng giải PT bậc bốn nhé)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-06-2011 - 17:38
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#37
Đã gửi 19-06-2011 - 20:16
Mình làm bài này nhé . Ta cóCách của 2 bạn rất hay!Cách của mình thì giống của ''spider..."
Phần a ý tưởng làm rất lạ.Hi.
Một bài khác ý tưởng tương tự nhưng đơn giản hơn nhiều :
Bai 16:ĐK x khác -1
${x^2} + \dfrac{{x{}^2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1$
(Đừng giải PT bậc bốn nhé)
$ x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=1 \\ \Leftrightarrow x^2-2\dfrac{x^2}{x+1}+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+2\dfrac{x^2}{x+1}-1=0 \\ \Leftrightarrow (x-\dfrac{x}{x+1})^2 + 2\dfrac{x^2}{x+1}-1=0 \\ \Leftrightarrow (\dfrac{x^2}{x+1})^2+ 2\dfrac{x^2}{x+1}-1=0$
Đến đây mình xem $ \dfrac{x^2}{x+1}$ là ẩn giải PT bậc 2 bình thường rồi tìm ra x thôi
#38
Đã gửi 19-06-2011 - 21:25
Mình làm bài này nhé . Ta có
$ x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=1 \\ \Leftrightarrow x^2-2\dfrac{x^2}{x+1}+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+2\dfrac{x^2}{x+1}-1=0 \\ \Leftrightarrow (x-\dfrac{x}{x+1})^2 + 2\dfrac{x^2}{x+1}-1=0 \\ \Leftrightarrow (\dfrac{x^2}{x+1})^2+ 2\dfrac{x^2}{x+1}-1=0$
Đến đây mình xem $ \dfrac{x^2}{x+1}$ là ẩn giải PT bậc 2 bình thường rồi tìm ra x thôi
Bạn làm đúng ý tưởng rùi đó. Phần a bài 15 cũng tương tự
${({x^2} + 6x)^2} + 36{x^2} = 28{(x + 6)^2}$
Chia cả hai vế PT cho ${(x + 6)^2}$
Ta cũng sẽ đưa về được một PT bậc hai với ẩn là: $\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 6}}} \right)$
Đến đây coi như xong!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-06-2011 - 21:27
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#39
Đã gửi 20-06-2011 - 10:17
Xin lỗi các member nhé, vì tớ xin lật lại 1 bài toán trong topic này của hangochoanthien.Thêm 2 bài dễ nữa nha...........
Bài 7
$\left\{\begin{array}{l}x^3+3xy^2=-49\\x^2-8xy+y^2=8y-17x\end{array}\right.$
Bài 8:
$16x^4+5=6\sqrt[3]{4x^3+x}$
Các anh chị hãy vô đây cùng giải ..........hi hi công nhận mọi người ở đây pro thiệt
Bài 7 có cao thủ nào triệt phá được không.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zone: 20-06-2011 - 10:17
#40
Đã gửi 20-06-2011 - 13:42
Bài 17 : Giải PT
$x^4=4x+1$
Bài 18:Giải PT
$(x-\sqrt{2})^3+(x+\sqrt{3})^3+(\sqrt{2}-\sqrt{3}-2x)^3=0$
Bài 19:Giải PT
$\dfrac{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}{(1995-x)^2-(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}=\dfrac{19}{49}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh