Chủ đề này có 90 trả lời

[caubeyeutoan2302]

Hihi, các anh giải PT nhanh thật , học hỏi cách giải PT của anh supermember từ các BĐT đã biết , em xin post tiếp vài bài có ý tưởng như thế:
Bài 29:Giải PT
$8x^2+\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{5}{2}$
Bài 30:Giải PT
$x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}$
Bài 31:Giải PT
$ \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$
Những bài trên đây đều có thể giải bằng nhiều cách nhưng dùng bất đẳng thức để làm thì khá hay và cách giải cũng ấn tượng hơn
Em đã post lên bài 24 và đã có người giải tuy nhiên nó có thể giải bằng BĐT nữa , ai phát hiện ra thì post lên nhé
Mọi người lưu ý nếu post lên các bài phương trình thì nên đánh số dể tiện cho việc theo dõi và có gì thì lấy ra bàn luận một cách dễ dàng hơn ạ. Cám ơn mọi người

[truclamyentu]

Hihi, các anh giải PT nhanh thật , học hỏi cách giải PT của anh supermember từ các BĐT đã biết , em xin post tiếp vài bài có ý tưởng như thế:
Bài 29:Giải PT
$8x^2+\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{5}{2}$
Bài 30:Giải PT
$x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}$
Bài 31:Giải PT
$ \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$
Những bài trên đây đều có thể giải bằng nhiều cách nhưng dùng bất đẳng thức để làm thì khá hay và cách giải cũng ấn tượng hơn
Em đã post lên bài 24 và đã có người giải tuy nhiên nó có thể giải bằng BĐT nữa , ai phát hiện ra thì post lên nhé
Mọi người lưu ý nếu post lên các bài phương trình thì nên đánh số dể tiện cho việc theo dõi và có gì thì lấy ra bàn luận một cách dễ dàng hơn ạ. Cám ơn mọi người

bài 31/

Ta có :

$\dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x = \sqrt {x + 9} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 + \sqrt x \sqrt {x + 1} = \sqrt {x + 9} \sqrt {x + 1} $

$ cauchy - swart:1.2\sqrt 2 + \sqrt x \sqrt {x + 1} \le \sqrt {(1 + x)(8 + x + 1)} = \sqrt {x + 9} \sqrt {x + 1} $

suy ra :

$2\sqrt 2 + \sqrt x \sqrt {x + 1} = \sqrt {x + 9} \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{1} = \dfrac{{x + 1}}{8}\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 23-06-2011 - 20:42

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Hihi, các anh giải PT nhanh thật , học hỏi cách giải PT của anh supermember từ các BĐT đã biết , em xin post tiếp vài bài có ý tưởng như thế:
Bài 29:Giải PT
$8x^2+\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{5}{2}$
Bài 30:Giải PT
$x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}$
Bài 31:Giải PT
$ \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$
Những bài trên đây đều có thể giải bằng nhiều cách nhưng dùng bất đẳng thức để làm thì khá hay và cách giải cũng ấn tượng hơn
Em đã post lên bài 24 và đã có người giải tuy nhiên nó có thể giải bằng BĐT nữa , ai phát hiện ra thì post lên nhé
Mọi người lưu ý nếu post lên các bài phương trình thì nên đánh số dể tiện cho việc theo dõi và có gì thì lấy ra bàn luận một cách dễ dàng hơn ạ. Cám ơn mọi người

Bài 29 :
Ta có:
$ 8x^2+\sqrt{\dfrac{1}{x}} = 8x^2+4.\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1}{x}} \geq \dfrac {5}{2} $ (Theo AM-GM )
do đó phương trình có nghiệm khi $ 8x^2=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{1}{x}} \Leftrightarrow x=4 $
Done !

[spiderandmoon]

Bài 29:Giải PT
$8x^2+\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{5}{2}$

Mình làm bài 29 này nhé!!!!!!!!!
Ta có $ 8x^2 +\dfrac{1}{2} \geq 4x$
$ 8x^2 +\dfrac{1}{2} +1 \geq 4(x+ \dfrac{1}{4} ) \geq 4 \sqrt{x} $
Suy ra $8x^2+\sqrt{\dfrac{1}{x}} + 1+ \dfrac{1}{2} \geq 4 \sqrt{x} +\sqrt{\dfrac{1}{x}} \geq 4 $
$8x^2+\sqrt{\dfrac{1}{x}} \geq \dfrac{5}{2}$
Dấu băng xảy ra khi $x=\dfrac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spiderandmoon: 23-06-2011 - 21:15

[Nguyễn Hoàng Lâm]

$ 8x^2 +\dfrac{1}{2} +1 \geq 4(x+1) \geq 4 \sqrt{x} $

Mình nghi ngờ phần này sai ! Bạn có thể lập luận rõ phần đó được không !
THế $ x= \dfrac{1}{4} $ vào thì được $ 3 \geq 5 \geq 2 $ ?????

[NGOCTIEN_A1_DQH]

bài 30:Giải PT
$x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}$
hix, lâu lâu không lên chém, xơi tạm bài này cho đỡ nhớ vậy
áp dụng BDT cauchy-schwarz ta có:
$ 4(x^2+1)=(x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x})^2 \leq (x^2+1)(x+1+3-x)=4(x^2+1) $
suy ra dấu = ở BDT trên phải xảy ra, tức là:
$ x=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{3-x}} \\ \Leftrightarrow x=1; x=1+\sqrt{2}; x=1-\sqrt{2} $
nhớ đặt và đối chiếu ĐK nhé
xong rồi

[caubeyeutoan2302]

Tiếp tục với bài hay nữa nào các bạn :
Bài 32:Giải PT
$ \sqrt[5]{27}x^{10}-5x^6+\sqrt[5]{864}=0$
Bài 33: Giải PT:
$ 2x^2-5x+2=4\sqrt{2(x^3-21x-20)} $
Bài 34:
$ 2x+ \dfrac{x-1}{x}=\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}+3\sqrt{x-\dfrac{1}{x}} $
Bài 32 tuy hình thức hơi "khủng" nhưng nó có thể sử dụng BĐT Côsi để giải đấy

[h.vuong_pdl]

Bài 32: 5.6 = 30 = 3.10. Như vậy là cần tách hệ số x¹⁰ làm 3 phần.

Ta Áp dụng BDT Cauchy:

$VT = \dfrac{\sqrt[5]{27}x^{10}}{3}+\dfrac{\sqrt[5]{27}x^{10}}{3}+\dfrac{\sqrt[5]{27}x^{10}}{3}+\sqrt[5]{27}+\sqrt[5]{27} \ge 5.x^6.= VP$

Vậy từ đó giải là ok! rồi

[hoangduc]

Bài 33: Giải PT:
$ 2x^2-5x+2=4\sqrt{2(x^3-21x-20)} $

ĐK: $-4\le x\le -1 \vee x\ge 5 $
Phương trình đã cho tương đương với:
$2x^2-5x+2=4\sqrt{(x+4)(2x^2-8x-10)} $

Đặt: $a=\sqrt{x+4}, b=\sqrt{2x^2-8x-10}$, phương trình đã cho trở thành:

$3a^2+b^2=4ab$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=b\\3a=b\end{array}\right. $

Đến đây thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangduc: 25-06-2011 - 22:57

[zone]

Tớ xin đóng góp 1 con phương trình bậc 3 (theo đúng tên của topic)
$ x^3-12x^2-3x+4=0$

[Nguyễn Hoàng Lâm]

$ x^3-12x^2-3x+4=0 $
Giải bằng cách tổng quát vậy :
Đặt $ a= x+4 $
Phương trình trở thành :
$ a^3-48a-124 =0 $
Đặt $ a=4t $ , phương trình lại trở thành :
$ t^3-3t-\dfrac{31}{16} =0 $
Xét $ |t| > 2$
Đặt $ t = k+\dfrac{1}{k} $ => phương trình bậc 2 các bạn tự giải nha .
Xét $ |t| \leq 2 $ Đặt $ t =2 Cos k $ => $ Cos 3k = \dfrac {31}{12} $ (Cái này vô nghiệm nha )
Note: Cái cách này là cách tổng quát , giải ra thì rất mất sức, Dùng khi nào bí thôi

[caubeyeutoan2302]

Tiếp vài bài nhé các bạn :
Bài 36:Giải PT
$ \sqrt{2x^2-2x+1}+\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^2+(\sqrt{3}+1)x+1}=3 $
Bài 37:Giải PT
$ 3x^3-9x+3+\sqrt{3x^4+3x^3+3}=0$

[tanh]

Bài 36:Giải PT
$\sqrt{2x^2-2x+1}+\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^2+(\sqrt{3}+1)x+1}=3 $

Để mình thử bài 36 nhá:
PT $ \sqrt{ x^{2}+ (x-1)^{2} } + \sqrt{ ( \dfrac{( \sqrt{3}+1)x }{2}) ^{2}+ ( \dfrac{( \sqrt{3}-1)x }{2} -1)^{2}} + \sqrt{ ( \dfrac{( \sqrt{3}-1)x }{2}) ^{2}+ ( \dfrac{( \sqrt{3}+1)x }{2} +1)^{2}} =3$
$ \sqrt{ x^{2}+ (x-1)^{2} } \geq \sqrt{(x-1)^{2} } =|x-1|=|1-x|$(1)
$\sqrt{ ( \dfrac{( \sqrt{3}+1)x }{2}) ^{2}+ ( \dfrac{( \sqrt{3}-1)x }{2} -1)^{2}} \geq | \dfrac{ (\sqrt{3}-1)x }{2}-1|$(2)
$\sqrt{ ( \dfrac{( \sqrt{3}-1)x }{2}) ^{2}+ ( \dfrac{( \sqrt{3}+1)x }{2} +1)^{2}} \geq| \dfrac{( \sqrt{3}+1)x }{2} +1|$(3)
Từ (1);(2);(3) và áp dụng BDT$ (|a|+|b| \geq |a+b|)$
$ x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanh: 30-06-2011 - 15:19

[zone]

$ x^3-12x^2-3x+4=0 $
Giải bằng cách tổng quát vậy :
Đặt $ a= x+4 $
Phương trình trở thành :
$ a^3-48a-124 =0 $
Đặt $ a=4t $ , phương trình lại trở thành :
$ t^3-3t-\dfrac{31}{16} =0 $
Xét $ |t| > 2$
Đặt $ t = k+\dfrac{1}{k} $ => phương trình bậc 2 các bạn tự giải nha .
Xét $ |t| \leq 2 $ Đặt $ t =2 Cos k $ => $ Cos 3k = \dfrac {31}{12} $ (Cái này vô nghiệm nha )
Note: Cái cách này là cách tổng quát , giải ra thì rất mất sức, Dùng khi nào bí thôi

Con này bạn đặt $x=tan \alpha $ rồi dùng công thức nhân 3 của tan cũng được
$3tan\alpha-tan^3\alpha=4(1-3tan^2\alpha)$
$\dfrac{3tan\alpha-tan^3\alpha}{1-3tan^2\alpha}=4=tan3\alpha$
Thế chắc là ổn nhỉ
Thực ra có 1 dạng pt bậc 3 có thể áp dụng cách trên(đặt x =tan a)
pt : $ ax^3+bx^2+cx+d=0 $
với $ \dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}=\dfrac{-1}{3} $
Các member xem hộ tớ nha. Nếu thấy k ổn ở đâu thì chỉ cho tớ. Cảm ơn nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zone: 30-06-2011 - 15:25

[Crystal]

Bài 38: Giải phương trình:$$\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2sin^{2}x}+\dfrac{1}{2}=cos2x+log_{4}\left ( 4cos^{3}2x-cos6x-1 \right )$$
Bài 39: Giải phương trình: $$tg^{4}x+tg^{4}y+2cot^{2}xcot^{2}y=3+sin^{2}\left ( x+y \right )$$

[Crystal]

Khơi dậy topic với bài toán sau:

Bài 40: Giải phương trình: $${e^{\frac{1}{e}}}\left( {{{\left| {\sin x} \right|}^{\sin x}} + {{\left| {\cos x} \right|}^{\cos x}}} \right) = {\left( {\left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right|} \right)^2}$$

[bitatthoi]

bài này em nghĩ cả tối mà không ra cách giải, em cũng cố đặt ẩn phụ mà không được. Đăng lên mong được mọi người giúp đỡ

$\sqrt{4x+20}=x^{2}+x-5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bitatthoi: 12-12-2013 - 21:26

[akaipro]

bài này em nghĩ cả tối mà không ra cách giải, em cũng cố đặt ẩn phụ mà không được. Đăng lên mong được mọi người giúp đỡ

$\sqrt{4x+20}=x^{2}+x-5$

bình phương 2 vế phương trình ta được 

$x^{4}+2x^{3}-9x^{2}-14x+5=0 <=> (x^{2}-x-5)(x^{2}+3x-1)=0$

[ILoveMathverymuch]

Chà các pro làm nhanh quá và có nhiều cách giải hay nữa , làm sao mình đăng kịp bài đây
Chúng ta cùng thử sức với 2 bài nữa nhé:
Bài 3 Giải phương trình :$x^3 + 2\sqrt 3 x^2 + 3x + \sqrt 3 - 1 = 0$
Bài 4 Giải phương trình :$\sqrt[3]{{6x + 1}} = 8x^3 - 4x - 1$
Mong các bạn cùng đăng nhiều phương trình hay và thú vị để mọi người cùng tham khảo nhé

Mình xin góp thêm cách nữa:

pt đã cho tương đương với:

$\sqrt[3]{6x+1} +6x+1 =(2x)^{3} +2x$

Đến đây ta xét hàm đặc trưng : f(t) = t^3 +t là hàm đồng biến

Do đó suy ra

$f(\sqrt[3]{6x+1}) =f(2x)$

Suy ra $\sqrt[3]{6x+1} =(2x)$

và ........

[bathoi2014]

bài này em nghĩ cả tối mà không ra cách giải, em cũng cố đặt ẩn phụ mà không được. Đăng lên mong được mọi người giúp đỡ

$\sqrt{4x+20}=x^{2}+x-5$

Hướng dẫn: Bài này cũng đặt được ẩn phụ chứ. Tại sao không.

 

+ Điều kiện: $x\geq -5$.

 

+ Đặt $u=\sqrt{x+5}$. Khi đó ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} u^{2}=x+5\\ x^{2}=-x+5+2u\\ \end{matrix}\right.$.

 

+ Trừ hai phương trình trong hệ cho nhau ta được: $u^{2}-x^{2}=2x-2u\Leftrightarrow (u-x)(u+x-2)=0\Leftrightarrow u=x\cup u=2-x$

 

+ Với hai trường hợp của u ta tìm được các giá trị tương ứng: $x=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}; x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ và đây cũng là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bathoi2014: 04-04-2014 - 21:04