Chủ đề này có 7 trả lời

[ldhung_94]

cmr với a,b,c không âm thoả mãn $a+b>0, b+c>0, c+a>0$ ta có:
$\dfrac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} + \dfrac{b^2}{(2b+c)(2b+a)} + \dfrac{c^2}{(2c+a)(2c+b)} \le \dfrac{1}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi nào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-06-2011 - 08:57
Latex

[nguyenphu.manh]

Mình sửa tí cho nó chuẩn công thức:
cmr với a,b,c >0 thoả mãn $a+b>0, b+c>0, c+a>0 $ ta có:
$\dfrac{a^2}{(2a+b)(2a+c)}+\dfrac{b^2}{(2b+c)(2b+a)} +\dfrac{c^2}{(2c+a)(2c+b)} \leqslant \dfrac{1}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi nào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenphu.manh: 06-06-2011 - 12:52

[tuan101293]

ta có
$\dfrac{a^2}{(2a+b)(2b+c)}=\dfrac{a^2}{(2a^2+bc)+2a(a+b+c)}\le \dfrac{1}{9}(\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{2a^2}{a(a+b+c)})$
suy ra
$VT\le \dfrac{1}{9}(\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}+2)$
nên ta chỉ cần CM
$\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}\le 1$ tương đương $\dfrac{bc}{bc+2a^2}\ge 1$ (đúng theo svac)
ĐPCM

[Messi_ndt]

Chứng minh rằng với a,b,c không âm thoả mãn $a+b>0, b+c>0, c+a>0$ ta có:
$\dfrac{a^2}{(ka+b)(ka+c)} + \dfrac{b^2}{(kb+c)(kb+a)} + \dfrac{c^2}{(kc+a)(kc+b)} \le \dfrac{3}{(k+1)^2}$.
Tìm hằng số k nhỏ nhất để BDt luôn đúng. Khi đó đẳng thức xảy ra khi nào.

[nguyenphu.manh]

bạn sai 1 tý,Ở đây là $\dfrac{a^2}{(2a+b)(2a+c)}=\dfrac{a^2}{(2a^2+bc)+2a(a+b+c)} $ chứ không phải là

$\dfrac{a^2}{(2a+b)(2b+c)}=\dfrac{a^2}{(2a^2+bc)+2a(a+b+c)}$

[Messi_ndt]

cmr với a,b,c không âm thoả mãn $a+b>0, b+c>0, c+a>0$ ta có:
$\dfrac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} + \dfrac{b^2}{(2b+c)(2b+a)} + \dfrac{c^2}{(2c+a)(2c+b)} \le \dfrac{1}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi nào.

Nếu là thế này thì nó không còn đúng nữa.
Cho $a=b=1, c\to +\infty $ thì BDT trên thấy sai ngay.

[tuan101293]

Chứng minh rằng với a,b,c không âm thoả mãn $a+b>0, b+c>0, c+a>0$ ta có:
$\dfrac{a^2}{(ka+b)(ka+c)} + \dfrac{b^2}{(kb+c)(kb+a)} + \dfrac{c^2}{(kc+a)(kc+b)} \le \dfrac{3}{(k+1)^2}$.
Tìm hằng số k nhỏ nhất để BDt luôn đúng. Khi đó đẳng thức xảy ra khi nào.

Cho $a=b,c=0$ (gioi han)
thi ta co $\dfrac{2}{k(k+1)}\le \dfrac{3}{(k+1)^2}$ hay $k\ge 2$
*****
@messi:
TH cua chu lim =1/4 nen bdt dung ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 12-06-2011 - 08:58

[ldhung_94]

Messi_dnt, tại sao cho a=b=1, c tiến tới vô cùng lớn thì bất đẳng thức lại "sai ngay". Sai chỗ nào?