Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Dãy số và giới hạn trong các kì thi HSG


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 33 trả lời

#1 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 06-06-2011 - 15:01

DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN QUA CÁC KÌ THI OLYMPIC
BÀi 1(Croatia TST 2011 ngÀy 1)cho dÃy số $(x_n)_n$ được xÁc định như sau
$x_1=a,x_2=b,{x_n} = \dfrac{{x_{n - 1}^2 + x_{n - 2}^2}}{{{x_{n - 1}} + {x_{n - 2}}}}\forall n \ge 3$
với a,b>1 lÀ cÁc số nguyên phân biệt
CMR$ x_n$ không lÀ số nguyên với mọi n>2
BÀi 2(Croatia TST 2011 ngÀy 2) cho dÃy số $(a_n)$ với $a_0=1$ vÀ ${a_{n + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{a_n}}}{2},{a_n} \equiv 0(\bmod 2)}\\{{a_n} + d,{a_n} \equiv 1(\bmod 2)}\end{array}} \right.$
tÌm tất cả cÁc số nguyên dương d sao cho tồn tại $a_i=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 26-11-2011 - 12:08

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 24-07-2011 - 12:46

$\ $x_n = \dfrac{{x_{n - 1}^2 + x_{n - 2}^2 }}{{x_{n - 1} + x_{n - 2} }}$$

$\ $x_n = \dfrac{{x_{n - 1}^2 + x_{n - 2}^2 }}{{x_{n - 1} + x_{n - 2} }}$$
vậy$\ $ \Leftrightarrow x_n = x_{n - 1} + x_{n - 2} - \dfrac{{2x_{n - 1} x_{n - 2} }}{{x_{n - 1} + x_{n - 2} }}$$
để$\ x_n$ \in $Z$( ở đay ta giả sử$\ ${x_{n - 1} }$ , ${x_{n - 2} }$ $ \in $ Z$)
$\ $ \Leftrightarrow\dfrac{{2x_{n - 1} x_{n - 2} }}{{x_{n - 1} + x_{n - 2} }} \in Z \Rightarrow 2x_{n - 1} x_{n - 2} = mx_{n - 1} + mx_{n - 2} $$$\$(m \in Z) $ $
$\$ \Leftrightarrow (x_{n - 1} - m)(x_{n - 2} - m) = x_{n - 1} x_{n - 2} \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow $$trái với giả thiết
vậy chắc chắn$\ $x_3 \notin Z$$
đặt$\ $x_{n - 1} = \dfrac{g}{z}$$ \$x_{n - 2} = \dfrac{d}{c}$$
do$\ $x_{n - 1} $$$\$x_{n - 2} $$ là những số hữu tỷ$\$(g,c,d,z \in Z)$$
$\ \Rightarrow x_n = \dfrac{{\dfrac{{g^2 }}{{z^2 }} + \dfrac{{d^2 }}{{c^2 }}}}{{\dfrac{g}{z} + \dfrac{d}{c}}} \Leftrightarrow \dfrac{{g^2 c^2 + d^2 z^2 }}{{zc(gc + zd)}}$
mà$\dfrac{{g^2 c^2 + d^2 z^2 }}{{gc + zd}}$không thuộc Z (do g,z,d,c nguyên)
$ \Rightarrow\[x_n \notin Z\]$
với $ \[x_{n - 2}\] \[x_{n - 2}\]$ là số hữu tỉ (có thể nguyen hoặc thập phân)
đừng để ý phần $ nhá tôi gõ mathtype gà lắm ai biết tôi sai đâu chỉ hộ nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 24-07-2011 - 13:14


#3 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 27-07-2011 - 19:26

DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN QUA CÁC KÌ THI OLYMPIC
Bài 1(Croatia TST 2011 ngày 1)cho dãy số $(x_n)_n$ được xác định như sau
$x_1=a,x_2=b,{x_n} = \dfrac{{x_{n - 1}^2 + x_{n - 2}^2}}{{{x_{n - 1}} + {x_{n - 2}}}}\forall n \ge 3$
với a,b>1 là các số nguyên phân biệt
CMR$ x_n$ không là số nguyên với mọi n>2
Bài 2(Croatia TST 2011 ngày 2) cho dãy số $(a_n)$ với $a_0=1$ và ${a_{n + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{a_n}}}{2},{a_n} \equiv 0(\bmod 2)}\\{{a_n} + d,{a_n} \equiv 1(\bmod 2)}\end{array}} \right.$
tìm tất cả các số nguyên dương d sao cho tồn tại $a_i=1$

ta co$ \dfrac{{a^2 + b^2 }}{{a + b}} = a + b - \dfrac{{2ab}}{{a + b}} mà a \neq b>1 \Rightarrow \dfrac{{2ab}}{{a + b}}\notin Z \Rightarrow x_3 \notin Z$
vậy ta có $ \forall a,b \in Z$ phân biệt và >1 thì đều có$ \dfrac{{a^2 + b^2 }}{{a + b}} \notinZ$
vì$\ x_n$là số hữu tỉ ($\ x_1,x_2 \in Z$)
$ \Rightarrow $ đặt$\ x_{n - 1} = \dfrac{m}{n}(m,n \in Z)$
$\ x_{n - 2} = \dfrac{z}{d}(z,d \in Z)$
$\Rightarrow x_n = \dfrac{{\dfrac{{m^2 }}{{n^2 }} + \dfrac{{z^2 }}{{d^2 }}}}{{\dfrac{m}{n} + \dfrac{z}{d}}} = \dfrac{{\dfrac{{m^2 d^2 + n^2 z^2 }}{{n^2 d^2 }}}}{{\dfrac{{md + nz}}{{nd}}}} = \dfrac{{m^2 d^2 + n^2 z^2 }}{{nd(md + nz)}}$
$ \dfrac{{m^2 d^2 + n^2 z^2 }}{{(md + nz)}}\notin Z$$ \Rightarrow x_n \notin Z \forall n \ge3$


#4 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 26-11-2011 - 12:13

Có lẽ topic này cũng cần trỏ lại đúng với vai trò của nó sau một thời gian dài im tiếng rồi :icon6:
Bài 3
Cho dãy số $(x_n),n \in N*$ xác định như sau

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = \frac{3}{2}}\\{{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n}}}{{2(2n + 1){x_n} + 1}}}\end{array};\forall n \in N*} \right.\]
Tính \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \]
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#5 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 26-11-2011 - 13:46

Bài tiếp nhé
Bài 4:CMR tồn tại đúng một dãy số nguyên $(u_n)$ thỏa mãn điều kiện sau $u_1=1;u_2>1$ và


\[\left\{ {\begin{array}{{u_1} = 1;{u_2} > 1}\\{u_{n + 1}^3 + 1 = {u_n}{u_{n + 2}}}\end{array}} \right.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 26-11-2011 - 15:12

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#6 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 26-11-2011 - 13:49

Bài 5 Cho dãy số $(x_n),n=0,1...$ được xác định bởi $x_0=a$ và ${x_{n + 1}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{x_n} + 1}} + 1} ;n = 0,1,...$
Với $a$ là số cho trước lớn hơn $1$.Tìm $limx_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 26-11-2011 - 13:49

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 26-11-2011 - 17:59

Bài 5 Cho dãy số $(x_n),n=0,1...$ được xác định bởi $x_0=a$ và ${x_{n + 1}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{x_n} + 1}} + 1} ;n = 0,1,...$
Với $a$ là số cho trước lớn hơn $1$.Tìm $limx_n$


Nhận xét rằng với ${x_0} = \alpha > 1:{x_n} > 0 \Rightarrow {x_n} > 1,\,\,n = 1,2,...$.

Xét hàm số: $f\left( x \right) = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \Rightarrow {x_{n + 1}} = f\left( {{x_n}} \right)$

Ta có: $f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sqrt {1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} }} < 0,\,\,\,\left| {f'\left( x \right)} \right| < \dfrac{1}{8},\,\,x > 1$

Vì $f\left( 1 \right) > 1,\,\,f\left( 2 \right) < 2$ nên phương trình f (x) = x có nghiệm duy nhất trong khoảng (1;2). Gọi nghiệm đó là T.

Theo định lý Lagrange thì $\forall T \ne x > 1\,\,\exists c > 1:\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( T \right)}}{{x - T}} = f'\left( c \right)$

$ \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( T \right)} \right| < \dfrac{1}{8}\left| {{x_n} - T} \right|$

$ \Leftrightarrow \left| {{x_{n + 1}} - T} \right| < \dfrac{1}{8}\left| {{x_n} - T} \right| < ... < {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{n + 1}}\left| {{x_0} - 1} \right| \Rightarrow \lim {x_n} = T$

Giải phương trình: $f\left( x \right) = x \Leftrightarrow \sqrt {1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} = x \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)^3} - 2\left( {x + \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{25}}{{27}}$ ta có nghiệm trong (1;2) là:

$T = \sqrt {\dfrac{{43}}{{54}} + \dfrac{{\sqrt {177} }}{{18}}} + \sqrt {\dfrac{{43}}{{54}} - \dfrac{{\sqrt {177} }}{{18}}} - \dfrac{1}{3}$

Vậy $\lim {x_n} = \sqrt {\dfrac{{43}}{{54}} + \dfrac{{\sqrt {177} }}{{18}}} + \sqrt {\dfrac{{43}}{{54}} - \dfrac{{\sqrt {177} }}{{18}}} - \dfrac{1}{3}$.

#8 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 26-11-2011 - 18:20

Những pic của Hoàng rất hay. Anh hết lòng ủng hộ Hoàng, xin góp một bài.

Bài 6: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{1}{{\prod\limits_{j = 0}^{2011} {\left( {i + j} \right)} }}} \right)} $. Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n}$.

#9 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 27-11-2011 - 10:04

Bài 7:Cho dãy số ${x_n}$ xác định bởi công thức \[{x_n} = \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\left( {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)....\left( {1 + \frac{n}{{{n^2}}}} \right)\]
Hãy tìm \[\lim \left( {\ln {x_n}} \right)\]
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#10 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 27-11-2011 - 10:27

Bài 7:Cho dãy số ${x_n}$ xác định bởi công thức \[{x_n} = \left( {1 + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\left( {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right)....\left( {1 + \dfrac{n}{{{n^2}}}} \right)\]
Hãy tìm \[\lim \left( {\ln {x_n}} \right)\]


Ta chứng minh: $$x - \dfrac{{{x^2}}}{x} < \ln \left( {x + 1} \right) < x,\,\,\forall x > 0$$

Thât vây, xét: $$\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right) - x + \dfrac{{{x^2}}}{2} \\
g\left( x \right) = x - \ln \left( {x + 1} \right) \\
\end{gathered} \right.\,\,\,,x > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - 1 + x = \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} > 0 \\
g'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{x}{{x + 1}} > 0 \\
\end{gathered} \right.\,\,,x > 0$$
Suy ra $f,g$ tăng trên $\left( {0, + \infty } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\\
g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0
\end{array} \right.,\,\,\forall x > 0 \Rightarrow x - \dfrac{{{x^2}}}{x} < \ln \left( {x + 1} \right) < x,\,\,\forall x > 0$
Ta có: $$\ln {x_n} = \ln \left( {1 + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) + \ln \left( {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right) + ... + \ln \left( {1 + \dfrac{n}{{{n^2}}}} \right)$$
áp dụng BĐT trên: $$\dfrac{i}{{{n^2}}} - \dfrac{{{i^2}}}{{2{n^4}}} < \ln \left( {1 + \dfrac{i}{{{n^2}}}} \right) < \dfrac{i}{{{n^2}}},\,\,\forall i = \overline {1,n} $$
$$ \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2}}}\left( {1 + 2 + ... + n} \right) - \dfrac{1}{{2{n^4}}}\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) < \ln {x_n} < \dfrac{1}{{{n^2}}}\left( {1 + 2 + ... + n} \right)$$
$$ \Rightarrow \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}} - \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{12{n^4}}} < \ln {x_n} < \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}}$$
Mặt khác: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}} - \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{12{n^4}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}}} \right) = \dfrac{1}{2}$$
Từ đó theo nguyên lí kẹp, suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\ln {x_n}} \right) = \boxed{\dfrac{1}{2}}$

#11 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 27-11-2011 - 10:32

Bài 8:Cho hai dãy số $(x_n);(y_n)$ thỏa mãn

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} = - 1}\\
{{y_1} = 1}
\end{array}} \right.\]


\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{n + 1}} = - 3x_n^2 - 2{x_n}{y_n} + 8{y^2}_n}\\
{{y_{n + 1}} = 2x_n^2 + 3{x_n}{y_n} - 2{y^2}_n}
\end{array}} \right.\]
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $x_p+y_p$ không chia hết cho $p$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#12 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 27-11-2011 - 12:06

Bài 8:Cho hai dãy số $(x_n);(y_n)$ thỏa mãn
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} = - 1}\\
{{y_1} = 1}
\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{n + 1}} = - 3x_n^2 - 2{x_n}{y_n} + 8{y^2}_n}\\
{{y_{n + 1}} = 2x_n^2 + 3{x_n}{y_n} - 2{y^2}_n}
\end{array}} \right.\]
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $x_p+y_p$ không chia hết cho $p$


Theo công thức truy hồi của hai dãy $(x_n);(y_n)$ ta có nhận xét: $${x_n} + 2{y_n} = {\left( {{x_{n - 1}} + 2{y_{n - 1}}} \right)^2} = ... = {\left( {{x_1} + 2{y_1}} \right)^{{2^{n - 1}}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Ta có: ${y_{n + 1}} = \left( {2{x_n} - {y_n}} \right)\left( {{x_n} + 2{y_n}} \right)$. Giả sử tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $2{x_k} = {y_k} \Rightarrow {y_{k + 1}} = 0$.
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_{k + 2}} = - 3x_{k + 1}^2\\
{x_{k + 2}} = 1
\end{array} \right.$, vô lí. Vậy ${y_{n + 1}} = \left( {2{x_n} - {y_n}} \right)\left( {{x_n} + 2{y_n}} \right) \ne 0\,\,\,\forall n$
Suy ra: $$\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{y_{n + 1}}}} = - \dfrac{{\left( {3{x_n} - 4{y_n}} \right)\left( {{x_n} + 2{y_n}} \right)}}{{\left( {2{x_n} - {y_n}} \right)\left( {{x_n} + 2{y_n}} \right)}} = \dfrac{{4{y_n} - 3{x_n}}}{{2{x_n} - {y_n}}}$$
Đặt: $${u_{n + 1}} = \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{y_{n + 1}}}} \Rightarrow {u_1} = - 1,\,\,{u_{n + 1}} = \dfrac{{4 - 3{u_n}}}{{2{u_n} - 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} + 2 = \dfrac{{{u_n} + 2}}{{2{u_n} - 1}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_{n + 1}} + 2}} = 2 - \dfrac{5}{{{u_n} + 2}}$$
Lại đặt: ${v_n} = \dfrac{1}{{{u_n} + 2}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = 2 - 5{v_n}$. Từ đây dễ dàng tìm được CTTQ của $(v_n)$:
$${v_n} = \dfrac{{1 + 2{{\left( { - 5} \right)}^{n - 1}}}}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_n} + 2}} = \dfrac{{1 + 2{{\left( { - 5} \right)}^{n - 1}}}}{3} \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{1 - 4{{\left( { - 5} \right)}^{n - 1}}}}{{1 + 2{{\left( { - 5} \right)}^{n - 1}}}} = \dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
Từ (1) và (2) suy ra:$${x_n} = \dfrac{{1 - 4{{\left( { - 5} \right)}^{n - 1}}}}{3},\,\,{y_n} = \dfrac{{1 + 2{{\left( { - 5} \right)}^{n - 1}}}}{3} \Rightarrow {x_n} + {y_n} = \dfrac{{2 - 2{{\left( { - 5} \right)}^{n - 1}}}}{3}$$
Nếu $p = 2 \Rightarrow {x_2} + {y_2} = 4\,\, \vdots \,\,2$, không thoả.
Nếu $p = 3 \Rightarrow {x_3} + {y_3} = - 16$ không chia hết cho 3, suy ra $p=3$ thoả.
Tương tự thì $p=5$ cũng thoả.
Xét $p > 5 \Rightarrow {\left( { - 5} \right)^{p - 1}} \equiv 1\left( {\bmod p} \right) \Rightarrow {x_p} + {y_p} \equiv 0\left( {\bmod p} \right)$.
Vậy $\boxed{p = \left\{ {3,5} \right\}}$.

#13 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 27-11-2011 - 18:27

Bài 9:Giả sử $k$ là số nguyên dương và $\alpha $ là số thực bất kì.Tìm giớ hạn của dãy $(a_n)$ với
\[{a_n} = \frac{{\left[ {{1^k}\alpha } \right] + \left[ {{2^k}\alpha } \right] + ... + \left[ {{n^k}\alpha } \right]}}{{{n^{k + 1}}}}(n = 1,2,3......)\]
$\left[ x \right]$ là phần nguyên của $x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 27-11-2011 - 18:51

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#14 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 27-11-2011 - 19:45

Bài 9:Giả sử $k$ là số nguyên dương và $\alpha $ là số thực bất kì.Tìm giớ hạn của dãy $(a_n)$ với
\[{a_n} = \dfrac{{\left[ {{1^k}\alpha } \right] + \left[ {{2^k}\alpha } \right] + ... + \left[ {{n^k}\alpha } \right]}}{{{n^{k + 1}}}}(n = 1,2,3......)\]
$\left[ x \right]$ là phần nguyên của $x$


Dễ thấy ${i^k},i = \overline {1,n} $ nguyên nên ${a_n} = \dfrac{{\left[ \alpha \right]\left( {{1^k} + {2^k} + ... + {n^k}} \right)}}{{{n^{k + 1}}}} = \left[ \alpha \right]\dfrac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} ^k}$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {x^k}$ xác định, liên tục và khả tích trên $\left[ {0,1} \right]$.
Chia đoạn $\left[ {0,1} \right]$ bởi các điểm ${x_i} = \dfrac{i}{n}$, chọn điểm ${c_i} = \dfrac{i}{n} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right],\,\,i = \overline {1,n} $
Khi đó: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\left[ \alpha \right]\dfrac{1}{n}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} }^k}} \right) = \left[ \alpha \right]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} }^k}} \right) = \left[ \alpha \right]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} } \right)$$
$$ = \left[ \alpha \right]\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \left[ \alpha \right]\int\limits_0^1 {{x^k}dx = } \left[ \alpha \right]\left. {\left( {\dfrac{{{x^{k + 1}}}}{{k + 1}}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{{\left[ \alpha \right]}}{{k + 1}}$$
Vậy $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\left[ \alpha \right]\dfrac{1}{n}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} }^k}} \right) = \boxed{\dfrac{{\left[ \alpha \right]}}{{k + 1}}}$$

#15 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 27-11-2011 - 21:03

Bài 9:Giả sử $k$ là số nguyên dương và $\alpha $ là số thực bất kì.Tìm giớ hạn của dãy $(a_n)$ với
\[{a_n} = \frac{{\left[ {{1^k}\alpha } \right] + \left[ {{2^k}\alpha } \right] + ... + \left[ {{n^k}\alpha } \right]}}{{{n^{k + 1}}}}(n = 1,2,3......)\]
$\left[ x \right]$ là phần nguyên của $x$

Giải Trước hết thì ta có
$x-1<[x]\le x$
Do vậy ta được
\[\frac{{\alpha \left( {{1^k} + {2^k} + ... + {n^k}} \right)}}{{{n^{k + 1}}}} - \frac{1}{{{n^k}}} < {a_n} \le \frac{{\alpha \left( {{1^k} + {2^k} + ... + {n^k}} \right)}}{{{n^{k + 1}}}}\]
Ta có
\[\frac{{\left( {{1^k} + {2^k} + ... + {n^k}} \right)}}{{{n^{k + 1}}}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\frac{i}{n}} \right)}^k}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {f(\frac{i}{n})} ,(f(x) = {x^k})\]
Ta có
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{1^k} + {2^k} + ... + {n^k}} \right)}}{{{n^{k + 1}}}} = \int\limits_0^1 {f(x)d(x)} = \int\limits_0^1 {{x^k}dx} = \frac{1}{{k + 1}}\]
Vậy thì
\[\lim {a_n} = \frac{\alpha }{{k + 1}}\]
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#16 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 28-11-2011 - 12:41

Bài 10: Dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định như sau:
$${x_1} = {x_2} = 0;{x_3} = 9;{x_n} + {x_{n + 1}} + {x_{n + 2}} = 3{x_{n + 3}},\,\,\forall n \geqslant 1$$
Chứng minh rằng $\left\{ {{x_n}} \right\}$ hội tụ và tìm $\lim {x_n}$

#17 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 28-11-2011 - 19:19

mình xin đóng góp 1 bài cho topic này, bài này mình cũng đã từng đăng lên nhưng chưa thấy ai giải cả
bài 11:
cho dãy số $ x_n $ với:
$ x_1=a>0 $
$ x_{n+1} =x_n+\dfrac{x_n^2}{n^2} $ với $ n \geq 1 $

tìm a>0 để dãy $ x_n $ có giới hạn hữu hạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 28-11-2011 - 19:21

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#18 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 28-11-2011 - 19:50

Giới thiệu một bài hay.

Bài 12: Cho $x\in \mathbb{R},\; a_{i0}=\dfrac{x}{2^{i}};\; a_{ij+1}=a_{ij}^{2}+2a_{ij},\; i,j=0,1,2,3...$. Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{nn}$

#19 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 30-11-2011 - 18:53

mình xin đóng góp 1 bài cho topic này, bài này mình cũng đã từng đăng lên nhưng chưa thấy ai giải cả
bài 11:
cho dãy số $ x_n $ với:
$ x_1=a>0 $
$ x_{n+1} =x_n+\dfrac{x_n^2}{n^2} $ với $ n \geq 1 $

tìm a>0 để dãy $ x_n $ có giới hạn hữu hạn


Bài này mình dự đoán rồi chứng mình. Lời giải này có vẻ không thuyết phục nhưng cũng xin post lên để mọi người cho ý kiến.

Ta sẽ chứng minh dãy $\left\{ {{x_n}} \right\}$ có giới hạn hữu hạn khi $a \in \left( {0,1} \right)$.

Thật vậy, dễ thấy ${x_{n + 1}} \geqslant {x_n},\,\forall n \geqslant 1$.

Nếu ${x_n} \leqslant n{x_1}$ thì ${x_{n + 1}} = {x_n} + \dfrac{{x_n^2}}{{{n^2}}} < n{x_1} + \dfrac{{{{\left( {n{x_1}} \right)}^2}}}{{{n^2}}} = n{x_1} + x_1^2 < \left( {n + 1} \right){x_1}\,\,\,\,do\,\,0 < {x_1} = a < 1$

Do đó, theo quy nạp ta chứng minh được: ${x_n} \leqslant n{x_1},\,\,\forall n \geqslant 1$

Với $m$ nguyên dương đủ lớn để $\dfrac{1}{m} < 1 - {x_1}$ thì $\dfrac{{{x_m}}}{m} < {x_1} < 1 - \dfrac{1}{m} \Rightarrow {x_m} < m - 1$

Ta có: $$\dfrac{1}{{{x_n}}} - \dfrac{1}{{{x_{n + 1}}}} = \dfrac{{\dfrac{{x_n^2}}{{{n^2}}}}}{{{x_n}{x_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{{{n^2}}}.\dfrac{{{x_n}}}{{{x_{n + 1}}}} < \dfrac{1}{{{n^2}}} < \dfrac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n - 1}}$$
Suy ra: $$\sum\limits_{k = m}^n {\left( {\dfrac{1}{{{x_k}}} - \dfrac{1}{{{x_{k + 1}}}}} \right)} < \sum\limits_{k = m}^n {\left( {\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{{k - 1}}} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{{{x_m}}} - \dfrac{1}{{{x_n}}} = \dfrac{1}{m} - \dfrac{1}{{n - 1}} < \dfrac{1}{m},\,\,\forall n > m} $$
$$ \Rightarrow {x_n} < \dfrac{{\left( {m - 1} \right){x_m}}}{{m - {x_m} - 1}},\,\,\,\,\forall n > m$$
Vậy dãy $\left\{ {{x_n}} \right\}$ tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Xong!

#20 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 30-11-2011 - 21:05

Còn mấy bài chưa được giải quyết. Mọi người cùng giải để post bài mới.

[1] Bài 4: (post by alex_hoang)
CMR tồn tại đúng một dãy số nguyên $(u_n)$ thỏa mãn điều kiện sau $u_1=1;u_2>1$ và
\[\left\{ {\begin{array}{{u_1} = 1;{u_2} > 1}\\{u_{n + 1}^3 + 1 = {u_n}{u_{n + 2}}}\end{array}} \right.\]

[2] Bài 6: (post by xusinst)
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{1}{{\prod\limits_{j = 0}^{2011} {\left( {i + j} \right)} }}} \right)} $. Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n}$.

[3] Bài 10: (post by xusinst)
Dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định như sau:
$${x_1} = {x_2} = 0;{x_3} = 9;{x_n} + {x_{n + 1}} + {x_{n + 2}} = 3{x_{n + 3}},\,\,\forall n \geqslant 1$$
Chứng minh rằng $\left\{ {{x_n}} \right\}$ hội tụ và tìm $\lim {x_n}$

[4] Bài 12: (post by xusinst)
Cho $x\in \mathbb{R},\; a_{i0}=\dfrac{x}{2^{i}};\; a_{ij+1}=a_{ij}^{2}+2a_{ij},\; i,j=0,1,2,3...$. Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{nn}$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh