Tìm tỉ lệ các cạnh của tam giác ABC để biểu thức sau đạt min
$ P=2.(\cot{A}+\cot{B})+\cot{C}$
#1
Đã gửi 08-06-2011 - 18:43
Bui Quang Dong
-
- Thành viên
-
- 100 Bài viết
Trung sĩ
Thôi.
Vì Đại Học
Ta quyết chiến
Không có con đường nào khác con đường cách mạng
I LOVE MATH
Vì Đại Học
Ta quyết chiến
Không có con đường nào khác con đường cách mạng
I LOVE MATH
#2
Đã gửi 14-06-2011 - 09:15
Bui Quang Dong
-
- Thành viên
-
- 100 Bài viết
Trung sĩ
Tìm tỉ lệ các cạnh của tam giác ABC để biểu thức sau đạt min
$ P=2.(\cot{A}+\cot{B})+\cot{C}$
chả có ai chém à ?
Thôi.
Vì Đại Học
Ta quyết chiến
Không có con đường nào khác con đường cách mạng
I LOVE MATH
Vì Đại Học
Ta quyết chiến
Không có con đường nào khác con đường cách mạng
I LOVE MATH
#3
Đã gửi 22-06-2011 - 18:09
Nguyễn Hoàng Lâm
-
- Thành viên
-
- 312 Bài viết
Sĩ quan
Ta có: $ Cot A + Cot B \geq 2 Cot \dfrac{A+B}{2}=2tan \dfrac{C}{2} $Tìm tỉ lệ các cạnh của tam giác ABC để biểu thức sau đạt min
$ P=2.(\cot{A}+\cot{B})+\cot{C}$
Lại có $ Cot C = \dfrac{1}{tan C}= \dfrac{1-tan^2 \dfrac{C}{2}}{2tan \dfrac{C}{2}}} $
Do đó :
$ P \geq 4tan \dfrac{C}{2} +\dfrac{1-tan^2 \dfrac{C}{2}}{2tan \dfrac{C}{2}}}=\dfrac{7}{2}tan \dfrac{C}{2}+\dfrac{1}{2tan \dfrac{C}{2}} $
Áp dụng Cauchy ta có :
$ P \geq \sqrt {7} $
Vậy $ Min_P = \sqrt{7} $
Dấu = xảy ra khi $ \left\{\begin{array}{l}{A=B }\\{tan^2 \dfrac{C}{2} =\dfrac{1}{7}}\end{array}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{a=b }\\{Cos ^2 C =\dfrac{9}{16}}\end{array}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{a=b }\\{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} =\dfrac{9}{16}}\end{array}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}{a=b }\\{c=a\sqrt{\dfrac {7}{8}}}\end{array}\right. $
Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
